Subgroups — #6386538

Order 512.

2118 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22589	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
3	#21930	C₂	1	2	yes	maximal
4	#21912	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20777	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1817	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20523	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₄×#117	C₄	1	8	yes	—
13	C₄×#117	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#376	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
22	#1916	C₂²	1	32	yes	complemented
23	#1850	C₂²	1	16	yes	—
24	#1839	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#1831	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#1817	C₂²	1	4	yes	—
27	#1817	C₂²	1	8	yes	—
28	#1817	C₂²	1	4	yes	—
29	#1797	C₂²	1	8	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
33	#1744	C₂²	1	8	yes	complemented
34	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
39	C₂×#117	—	2	8	no	—
40	C₂×#117	C₈	1	16	yes	complemented
41	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	16	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
77	#376	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#376	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
86	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
87	#336	C₂³	1	16	yes	—
88	#336	C₂³	1	16	yes	—
89	#336	C₂³	1	16	yes	—
90	#336	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
97	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
115	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
116	#117	—	2	32	no	—
117	#117	C₂×C₈	1	64	yes	complemented
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
163	C₄×C₈	—	4	16	no	—
164	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
165	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
166	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
167	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂²×C₈	1	4	yes	—
172	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
173	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	—	2	16	no	—
226	C₂×C₈	—	2	32	no	—
227	C₂×C₈	—	8	16	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	32	yes	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
232	C₂²⋊C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
233	C₂²⋊C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	8	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	8	no	—
239	C₄²	—	2	8	no	—
240	C₄²	—	2	8	no	—
241	C₄²	—	2	8	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	8	no	—
245	C₄²	—	2	8	no	—
246	C₄²	—	4	4	no	—
247	C₄²	—	4	4	no	—
248	C₄²	—	4	4	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	C₂²×C₈	1	16	yes	—
251	C₄²	C₂²×C₈	1	16	yes	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	8	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	#431	1	16	yes	—
261	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂³×C₈	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	32	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	16	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
311	C₈	—	4	16	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	8	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	8	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	4	16	no	—
321	C₂²	C₂×#431	1	8	yes	—
322	C₂²	C₂×#431	1	4	yes	—
323	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#3428	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂⁴×C₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
328	C₄	—	2	8	no	—
329	C₄	—	2	8	no	—
330	C₄	—	2	8	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	#3491	1	4	yes	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	2	8	no	—
341	C₂	#34177	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂²×#431	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#60124	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#60276	1	2	yes	—
345	C₂	#60282	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₈
socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22589	C₂	semidirect
4. #21912	C₂	semidirect
5. #20777	C₂	semidirect
22. #1916	C₂²	semidirect
24. #1839	C₂²	semidirect
25. #1831	C₂²	semidirect
30. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
33. #1744	C₂²	semidirect
40. C₂×#117	C₈	semidirect
117. #117	C₂×C₈	semidirect
119. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
141. C₂×C₄²	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#117	2
#22589	2
#21930	2
#21912	2
#20777	2
C₂×#1817	2
#20523	2