Subgroups — #6387492

Order 512.

1878 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22825	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
3	Q₈×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22603	C₂	1	6	yes	maximal
5	Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal
6	#22022	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#20810	C₂	1	3	yes	maximal
8	#20777	C₂	1	3	yes	maximal
9	#20572	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#432	C₂²	1	6	yes	—
15	C₄²×Q₈	C₄	1	3	yes	—
16	C₄²×Q₈	C₄	1	3	yes	—
17	C₄²×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₄²×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₄²×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
20	C₄²×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
21	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	3	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	3	yes	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂×C₄³	C₂²	1	3	yes	—
27	#1984	C₂²	1	12	yes	—
28	#1939	C₂²	1	12	yes	—
29	#1917	C₂²	1	24	yes	—
30	#1842	C₂²	1	6	yes	—
31	#1839	C₂²	1	6	yes	—
32	#1831	C₂²	1	6	yes	—
33	#1831	C₂²	1	6	yes	—
34	#1817	C₂²	1	6	yes	—
35	#1797	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1797	C₂²	1	3	yes	—
37	#1797	C₂²	1	6	yes	—
38	#1770	C₂²	1	12	yes	—
39	#1767	C₂²	1	6	yes	—
40	#1767	C₂²	1	6	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	6	yes	—
42	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	6	yes	—
43	#1744	C₂²	1	6	yes	—
44	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
70	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
71	#432	—	4	12	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#97	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
98	C₂×#95	C₂×C₄	1	6	yes	—
99	C₄³	C₂×C₄	1	3	yes	—
100	C₄³	C₂×C₄	1	3	yes	—
101	C₄³	C₂×C₄	1	3	yes	—
102	C₄³	C₂×C₄	1	3	yes	—
103	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
104	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
105	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
106	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
107	#336	C₂³	1	6	yes	—
108	#336	C₂³	1	12	yes	—
109	#336	C₂³	1	2	yes	—
110	#336	C₂³	1	12	yes	—
111	#336	C₂³	1	12	yes	—
112	#336	C₂³	1	12	yes	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	M₁₆	1	8	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
127	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
137	C₄×Q₈	M₁₆	1	8	yes	—
138	C₄×Q₈	#41	1	8	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
151	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
190	C₄⋊C₈	—	4	12	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
193	#97	—	4	12	no	—
194	C₄×C₈	—	2	24	no	—
195	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
196	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
197	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
198	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
199	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
203	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
204	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	12	yes	—
205	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
206	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	12	yes	—
226	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	12	no	—
245	C₂×C₈	—	2	12	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	12	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
256	C₄⋊C₄	#117	1	12	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	12	yes	—
258	C₄²	—	2	6	no	—
259	C₄²	—	2	6	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	6	no	—
263	C₄²	—	2	6	no	—
264	C₄²	—	2	6	no	—
265	C₄²	—	2	6	no	—
266	C₄²	—	2	6	no	—
267	C₄²	—	2	6	no	—
268	C₄²	—	2	6	no	—
269	C₄²	—	2	6	no	—
270	C₄²	—	2	6	no	—
271	C₄²	—	2	6	no	—
272	C₄²	—	2	6	no	—
273	C₄²	—	2	6	no	—
274	C₄²	—	2	6	no	—
275	C₄²	—	2	6	no	—
276	C₄²	—	2	6	no	—
277	C₄²	—	2	6	no	—
278	C₄²	—	2	3	no	—
279	C₄²	—	2	3	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	3	no	—
282	C₄²	—	2	3	no	—
283	C₄²	—	4	3	no	—
284	C₄²	—	4	3	no	—
285	C₄²	C₂×M₁₆	1	12	yes	—
286	C₄²	C₂×#41	1	12	yes	—
287	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	1	no	—
292	C₂³	#520	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	2	24	no	—
297	Q₈	#432	1	16	yes	complemented
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	3	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	3	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	3	no	—
309	C₂×C₄	—	2	3	no	—
310	C₂×C₄	—	2	3	no	—
311	C₂×C₄	—	2	3	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	24	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	3	no	—
318	C₂×C₄	—	2	3	no	—
319	C₂×C₄	—	2	3	no	—
320	C₂×C₄	—	2	3	no	—
321	C₂×C₄	—	2	3	no	—
322	C₂×C₄	—	2	3	no	—
323	C₂×C₄	—	2	3	no	—
324	C₂×C₄	—	2	3	no	—
325	C₂×C₄	—	2	3	no	—
326	C₂×C₄	—	2	3	no	—
327	C₂×C₄	—	2	3	no	—
328	C₂×C₄	—	2	3	no	—
329	C₂×C₄	—	4	12	no	—
330	C₂×C₄	—	4	12	no	—
331	C₂×C₄	—	4	12	no	—
332	C₂×C₄	C₂×#117	1	6	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#117	1	6	yes	—
334	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	6	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	6	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	6	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	6	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
349	C₈	—	4	12	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	#2991	1	4	yes	—
358	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	6	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	6	no	—
371	C₄	—	2	6	no	—
372	C₄	—	4	3	no	—
373	C₄	—	4	3	no	—
374	C₄	—	4	3	no	—
375	C₄	—	4	3	no	—
376	C₄	C₂×#432	1	12	yes	—
377	C₄	#2984	1	4	yes	—
378	C₄	#3522	1	2	yes	—
379	C₄	#3523	1	2	yes	—
380	C₂	—	2	4	no	—
381	C₂	#34196	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂²×#432	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#60127	1	1	yes	characteristic
384	C₂	C₂×#2984	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#60248	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#2991	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#60263	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22825	C₂	semidirect
3. Q₈×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
6. #22022	C₂	semidirect
9. #20572	C₂	semidirect
297. Q₈	#432	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄²×Q₈	2
#22825	2
Q₈×C₄⋊C₈	2
#22603	2
Q₈×C₂²⋊C₈	2
#22022	2
#20810	2
#20777	2
#20572	2