Subgroups — #6389720

Order 512.

1816 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2986	C₂	1	2	yes	maximal
2	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#23153	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#23149	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22600	C₂	1	8	yes	maximal
6	#22240	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21819	C₂	1	2	yes	maximal
8	#21712	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	#2986	—	2	16	no	—
14	C₂×#446	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#446	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#433	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2868	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#2868	C₄	1	1	yes	characteristic
24	#2862	C₄	1	2	yes	—
25	#2859	C₄	1	4	yes	—
26	#2857	C₄	1	4	yes	—
27	#2857	C₄	1	2	yes	—
28	#2857	C₄	1	2	yes	—
29	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#2285	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1984	C₂²	1	8	yes	—
35	#1984	C₂²	1	4	yes	—
36	#1984	C₂²	1	4	yes	—
37	#1939	C₂²	1	8	yes	—
38	#1939	C₂²	1	8	yes	—
39	#1917	C₂²	1	16	yes	—
40	#1916	C₂²	1	16	yes	—
41	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1831	C₂²	1	2	yes	—
44	#1818	C₂²	1	8	yes	—
45	#1797	C₂²	1	4	yes	—
46	#1770	C₂²	1	8	yes	—
47	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
48	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
51	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
52	#1744	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
54	#533	—	2	8	no	—
55	#533	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#446	—	2	16	no	—
73	#446	—	2	16	no	—
74	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
75	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
76	#433	—	2	32	no	—
77	#431	—	2	8	no	—
78	#431	—	2	4	no	—
79	#431	D₄	1	8	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	#391	C₂×C₄	1	8	yes	—
100	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
102	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
103	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
104	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
105	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
106	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
109	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
110	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
111	#382	C₂×C₄	1	8	yes	—
112	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
113	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
116	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
122	#336	C₂³	1	8	yes	—
123	#336	C₂³	1	16	yes	—
124	#336	C₂³	1	16	yes	—
125	#336	C₂³	1	4	yes	—
126	#336	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
144	#125	—	2	16	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
151	#117	—	2	8	no	—
152	#117	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	8	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
197	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	#97	—	2	16	no	—
203	C₄×C₈	—	2	16	no	—
204	C₄×C₈	—	2	8	no	—
205	C₄×C₈	—	2	4	no	—
206	C₄×C₈	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	8	no	—
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
209	#95	C₂²×C₄	1	16	yes	—
210	#95	C₂²×C₄	1	16	yes	—
211	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	8	no	—
276	C₄²	—	2	8	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
281	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
282	C₄²	#131	1	8	yes	—
283	C₄²	#131	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
289	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	4	16	no	—
297	Q₈	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	16	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	4	4	no	—
341	C₈	—	4	4	no	—
342	C₈	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂²×#131	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	8	no	—
360	C₄	—	4	8	no	—
361	C₄	#2931	1	4	yes	—
362	C₄	#2935	1	4	yes	—
363	C₄	#2986	1	8	yes	complemented
364	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#3509	1	2	yes	—
367	C₂	—	4	2	no	—
368	C₂	#34209	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂×#2931	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂×#2935	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#2986	1	2	yes	—
372	C₂	#60250	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #23153	C₂	semidirect
4. #23149	C₂	semidirect
6. #22240	C₂	semidirect
8. #21712	C₂	semidirect
9. C₈×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
363. C₄	#2986	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2986	2
#36645	2
#23153	2
#23149	2
#22600	2
#22240	2
#21819	2
#21712	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
#20808	2
C₄×#431	2