Subgroups — #6389749

Order 512.

1894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 295 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34216	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23158	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22612	C₂	1	8	yes	maximal
5	#22248	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21834	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#500	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#500	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2369	C₂²	1	8	yes	—
19	#2365	—	2	4	no	—
20	#2345	C₂²	1	8	yes	—
21	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
22	#2331	—	2	4	no	—
23	#2316	—	2	2	no	—
24	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
25	#2285	C₂²	1	2	yes	—
26	#2274	—	2	2	no	—
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1990	C₂²	1	8	yes	—
29	#1987	C₂²	1	8	yes	—
30	#1942	C₂²	1	16	yes	—
31	#1921	C₂²	1	32	yes	—
32	#1845	C₂²	1	2	yes	—
33	#1834	C₂²	1	2	yes	—
34	#1824	C₂²	1	8	yes	—
35	#1808	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄×#107	C₂²	1	16	yes	—
38	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
39	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
40	#1744	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#500	C₂×C₄	1	32	yes	—
58	#500	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	#500	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	#431	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	C₂×C₄	1	32	yes	—
62	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	#391	—	2	8	no	—
74	#391	—	2	16	no	—
75	#389	—	2	8	no	—
76	#389	—	2	8	no	—
77	#389	C₂³	1	16	yes	—
78	#387	—	2	16	no	—
79	#384	C₂³	1	4	yes	—
80	#382	—	2	2	no	—
81	#380	—	2	2	no	—
82	#380	—	2	8	no	—
83	#380	C₂³	1	4	yes	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	#376	D₄	1	2	yes	—
95	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
96	#340	C₂³	1	8	yes	—
97	#340	C₂³	1	32	yes	—
98	#336	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	8	8	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
116	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
117	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
118	C₄×Q₈	—	8	16	no	—
119	#117	—	2	4	no	—
120	#117	—	4	8	no	—
121	#117	Q₁₆	1	8	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	#107	—	2	16	no	—
151	#107	C₂²×C₄	1	32	yes	—
152	#107	C₂²×C₄	1	32	yes	—
153	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
155	C₄×C₈	—	2	16	no	—
156	C₄×C₈	—	2	4	no	—
157	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	#95	—	2	16	no	—
161	#95	—	2	4	no	—
162	#95	—	2	4	no	—
163	#95	—	2	16	no	—
164	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
170	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
171	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
178	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	16	no	—
194	C₂×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	8	no	—
196	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
199	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
207	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
208	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
209	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
213	C₄²	—	2	4	no	—
214	C₄²	—	2	8	no	—
215	C₄²	—	2	8	no	—
216	C₄²	—	4	8	no	—
217	C₄²	—	8	16	no	—
218	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
220	C₄²	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
221	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
223	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
229	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
230	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
231	Q₈	—	4	32	no	—
232	Q₈	—	8	16	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	16	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	16	no	—
245	C₂×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	8	16	no	—
249	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	16	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
264	C₈	—	2	4	no	—
265	C₈	—	4	4	no	—
266	C₈	#519	1	8	yes	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	2	2	no	—
271	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
272	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#3499	1	2	yes	—
274	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	2	8	no	—
279	C₄	—	2	2	no	—
280	C₄	—	4	16	no	—
281	C₄	—	4	4	no	—
282	C₄	—	8	8	no	—
283	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
284	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
285	C₄	#2948	1	4	yes	—
286	C₄	C₂×#519	1	2	yes	—
287	C₄	#3509	1	2	yes	—
288	C₂	—	2	4	no	—
289	C₂	#34209	1	1	yes	characteristic
290	C₂	C₂²×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
291	C₂	C₂×#2948	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#62472	1	2	yes	—
293	C₂	#62474	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #23158	C₂	semidirect
5. #22248	C₂	semidirect
7. C₄×#500	C₂	semidirect
11. C₂×#500	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
#34216	2
#23158	2
#22612	2
#22248	2
#21834	2
C₄×#500	2
#20817	2
C₈×#117	2