Subgroups — #6389826

Order 512.

2802 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#23176	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22401	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22264	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21786	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21681	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
13	#2975	—	2	16	no	—
14	C₂×#436	C₂²	1	8	yes	complemented
15	C₂×#436	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂×#436	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#407	C₂²	1	8	yes	—
21	C₄×#127	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×#127	C₄	1	4	yes	—
23	C₄×#127	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#390	C₄	1	4	yes	—
28	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
29	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1954	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1954	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1954	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1870	C₂²	1	32	yes	complemented
35	#1842	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#1831	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#1797	C₂²	1	4	yes	—
38	#1779	C₂²	1	8	yes	—
39	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
42	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
43	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	16	yes	—
48	C₂×#127	—	2	8	no	—
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	4	16	no	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#436	—	2	32	no	—
73	#436	—	2	32	no	—
74	#436	—	4	32	no	—
75	#431	—	2	8	no	—
76	#431	—	2	4	no	—
77	#431	D₄	1	8	yes	complemented
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	#407	—	2	32	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
94	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
95	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
98	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
99	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
108	#336	C₂³	1	8	yes	—
109	#336	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
117	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
137	#127	—	2	8	no	—
138	#127	—	2	16	no	—
139	#127	—	2	8	no	—
140	C₄×D₄	—	2	16	no	—
141	C₄×D₄	—	2	16	no	—
142	C₄×D₄	—	2	8	no	—
143	C₄×D₄	—	2	8	no	—
144	C₄×D₄	—	2	8	no	—
145	C₄×D₄	—	2	8	no	—
146	C₄×D₄	—	2	32	no	—
147	C₄×D₄	—	4	16	no	—
148	C₄×D₄	—	4	16	no	—
149	C₄×D₄	—	4	16	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄²	M₁₆	1	8	yes	complemented
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
189	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
190	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
194	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	C₄×C₈	—	2	8	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	C₄×C₈	—	2	16	no	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
199	C₂⁴	—	2	8	no	—
200	C₂⁴	—	2	8	no	—
201	C₂⁴	—	2	8	no	—
202	C₂⁴	—	4	8	no	—
203	C₂⁴	—	4	8	no	—
204	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
205	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	2	16	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	16	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	16	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	64	no	—
219	C₂×D₄	—	4	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
236	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	M₁₆	—	8	32	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	16	no	—
260	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
281	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
282	C₄²	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
283	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	16	no	—
293	C₂³	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	2	8	no	—
295	C₂³	—	2	16	no	—
296	C₂³	—	4	32	no	—
297	C₂³	—	4	16	no	—
298	C₂³	—	8	8	no	—
299	C₂³	—	8	16	no	—
300	C₂³	—	8	8	no	—
301	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
304	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
305	D₄	—	4	32	no	—
306	D₄	—	4	16	no	—
307	D₄	—	4	16	no	—
308	D₄	—	4	32	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	16	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	16	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	16	no	—
327	C₂×C₄	—	4	16	no	—
328	C₂×C₄	—	8	16	no	—
329	C₂×C₄	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	#436	1	16	yes	complemented
331	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
348	C₈	—	2	8	no	—
349	C₈	—	4	8	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	4	16	no	—
356	C₂²	—	4	16	no	—
357	C₂²	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	4	8	no	—
360	C₂²	—	8	32	no	—
361	C₂²	C₂×#436	1	4	yes	—
362	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	8	no	—
374	C₄	C₂×#436	1	4	yes	—
375	C₄	C₂×#436	1	4	yes	—
376	C₄	#2975	1	8	yes	complemented
377	C₄	#3498	1	2	yes	—
378	C₄	#3508	1	2	yes	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	8	8	no	—
381	C₂	#34210	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂²×#436	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#60144	1	1	yes	characteristic
384	C₂	C₂×#2975	1	2	yes	—
385	C₂	#60236	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#127	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2975	C₂	semidirect
3. #23176	C₂	semidirect
4. #22401	C₂	semidirect
5. #22264	C₂	semidirect
6. #21786	C₂	semidirect
7. #21681	C₂	semidirect
8. #20808	C₂	semidirect
9. C₄×#431	C₂	semidirect
14. C₂×#436	C₂²	semidirect
15. C₂×#436	C₂²	semidirect
16. C₂×#436	C₂²	semidirect
31. #1954	C₂²	semidirect
32. #1954	C₂²	semidirect
33. #1954	C₂²	semidirect
34. #1870	C₂²	semidirect
35. #1842	C₂²	semidirect
36. #1831	C₂²	semidirect
39. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
40. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
42. #1744	C₂²	semidirect
43. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
77. #431	D₄	semidirect
165. C₂×C₄²	M₁₆	semidirect
189. C₄⋊C₈	C₂×D₄	semidirect
198. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
330. C₂×C₄	#436	semidirect
376. C₄	#2975	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2975	2
C₂×C₄×#127	2
#23176	2
#22401	2
#22264	2
#21786	2
#21681	2
#20808	2
C₄×#431	2