Subgroups — #6389853

Order 512.

3022 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23188	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22436	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22269	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21803	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21690	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#518	—	2	2	no	—
13	C₂×#493	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#442	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2366	—	2	4	no	—
21	#2366	C₂²	1	8	yes	complemented
22	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
23	D₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
24	#2328	—	2	4	no	—
25	#2309	—	2	2	no	—
26	C₄×#127	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#2285	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1982	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#1972	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#1957	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1879	C₂²	1	32	yes	complemented
33	#1844	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1834	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1807	C₂²	1	4	yes	—
36	#1786	C₂²	1	8	yes	—
37	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#1770	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1752	C₂²	1	4	yes	—
40	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×D₈	—	4	16	no	—
46	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
47	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	8	no	—
53	C₂×#127	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
54	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
56	#518	—	4	16	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	—
61	C₂×#117	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#493	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
66	#493	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
67	#493	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	#442	—	4	32	no	—
69	#431	—	2	4	no	—
70	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	#390	—	2	8	no	—
81	#390	—	2	8	no	—
82	#390	—	2	8	no	—
83	#390	C₂³	1	16	yes	—
84	#386	—	2	16	no	—
85	#386	—	2	16	no	—
86	#384	C₂³	1	4	yes	—
87	#382	—	2	2	no	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	#380	C₂³	1	4	yes	—
90	#379	—	2	8	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	#376	D₄	1	2	yes	—
98	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
99	#340	C₂³	1	8	yes	—
100	#336	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂⁵	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×D₈	—	2	32	no	—
121	C₂×D₈	—	4	64	no	—
122	C₂×D₈	—	4	16	no	—
123	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	32	yes	—
124	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	32	yes	—
125	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
130	#127	—	2	16	no	—
131	#127	—	2	16	no	—
132	#127	—	2	8	no	—
133	#127	—	2	8	no	—
134	#127	C₂²×C₄	1	16	yes	—
135	#127	C₂²×C₄	1	16	yes	—
136	C₄×D₄	—	4	32	no	—
137	C₄×D₄	—	4	32	no	—
138	C₄×D₄	—	4	32	no	—
139	C₄×D₄	—	8	16	no	—
140	#117	—	2	8	no	—
141	#117	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	#106	—	2	16	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
164	#102	—	4	32	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
166	#97	—	2	16	no	—
167	C₄×C₈	—	2	4	no	—
168	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	#95	—	2	4	no	—
172	#95	—	2	4	no	—
173	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂⁴	—	2	8	no	—
176	C₂⁴	—	2	16	no	—
177	C₂⁴	—	4	8	no	—
178	C₂⁴	—	4	8	no	—
179	C₂⁴	—	8	8	no	—
180	C₂⁴	—	8	8	no	—
181	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×D₄	—	2	16	no	—
183	C₂×D₄	—	2	16	no	—
184	C₂×D₄	—	2	16	no	—
185	C₂×D₄	—	2	16	no	—
186	C₂×D₄	—	2	16	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	2	32	no	—
189	C₂×D₄	—	4	32	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	16	no	—
195	C₂×D₄	—	4	64	no	—
196	C₂×D₄	—	8	16	no	—
197	C₂×D₄	—	8	32	no	—
198	C₂×D₄	—	8	8	no	—
199	C₂×D₄	—	8	8	no	—
200	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
207	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
219	D₈	—	2	64	no	—
220	D₈	—	4	32	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	16	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	8	no	—
225	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
237	C₄²	—	2	8	no	—
238	C₄²	—	2	8	no	—
239	C₄²	—	2	8	no	—
240	C₄²	—	4	8	no	—
241	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
242	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
244	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
245	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
246	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	16	no	—
250	C₂³	—	4	16	no	—
251	C₂³	—	4	8	no	—
252	C₂³	—	4	8	no	—
253	C₂³	—	4	16	no	—
254	C₂³	—	4	32	no	—
255	C₂³	—	8	16	no	—
256	C₂³	—	8	16	no	—
257	C₂³	—	16	16	no	—
258	C₂³	—	16	16	no	—
259	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
261	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
262	D₄	—	2	32	no	—
263	D₄	—	4	32	no	—
264	D₄	—	4	32	no	—
265	D₄	—	4	32	no	—
266	D₄	—	4	16	no	—
267	D₄	—	8	16	no	—
268	D₄	—	8	16	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	16	32	no	—
281	C₂×C₄	#442	1	16	yes	complemented
282	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
293	C₈	—	2	4	no	—
294	C₈	—	4	4	no	—
295	C₈	#518	1	8	yes	complemented
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	4	16	no	—
300	C₂²	—	4	16	no	—
301	C₂²	—	4	16	no	—
302	C₂²	—	8	16	no	—
303	C₂²	—	8	16	no	—
304	C₂²	—	16	32	no	—
305	C₂²	C₂×#442	1	4	yes	—
306	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#3498	1	2	yes	—
308	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
309	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	4	8	no	—
313	C₄	—	8	8	no	—
314	C₄	C₂×#442	1	4	yes	—
315	C₄	C₂×#442	1	4	yes	—
316	C₄	#2948	1	4	yes	—
317	C₄	C₂×#518	1	2	yes	—
318	C₄	#3508	1	2	yes	—
319	C₂	—	2	4	no	—
320	C₂	—	8	16	no	—
321	C₂	#34210	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₂²×#442	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂×#2948	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#62423	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34210	C₂	semidirect
3. #23188	C₂	semidirect
4. #22436	C₂	semidirect
5. #22269	C₂	semidirect
6. #21803	C₂	semidirect
7. #21690	C₂	semidirect
8. #20816	C₂	semidirect
9. #20473	C₂	semidirect
13. C₂×#493	C₄	semidirect
17. C₂×#442	C₂²	semidirect
21. #2366	C₂²	semidirect
26. C₄×#127	C₂²	semidirect
29. #1982	C₂²	semidirect
30. #1972	C₂²	semidirect
31. #1957	C₂²	semidirect
32. #1879	C₂²	semidirect
33. #1844	C₂²	semidirect
34. #1834	C₂²	semidirect
37. C₄×#106	C₂²	semidirect
38. #1770	C₂²	semidirect
40. #1744	C₂²	semidirect
41. C₄×#97	C₂²	semidirect
46. C₂²×D₈	C₂×C₄	semidirect
53. C₂×#127	C₂×C₄	semidirect
65. #493	C₂×C₄	semidirect
66. #493	C₂×C₄	semidirect
67. #493	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
281. C₂×C₄	#442	semidirect
295. C₈	#518	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
#34210	2
#23188	2
#22436	2
#22269	2
#21803	2
#21690	2
#20816	2
#20473	2