Subgroups — #6389854

Order 512.

2230 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 285 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34216	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23187	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#22440	C₂	1	8	yes	maximal
5	#22270	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21804	C₂	1	2	yes	maximal
7	#21691	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#494	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#441	C₂²	1	16	yes	—
17	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2369	—	2	4	no	—
20	#2365	C₂²	1	8	yes	—
21	#2345	—	2	4	no	—
22	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
23	#2331	—	2	4	no	—
24	#2316	—	2	2	no	—
25	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
26	#2285	C₂²	1	2	yes	—
27	#2274	—	2	2	no	—
28	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1981	C₂²	1	8	yes	—
30	#1971	C₂²	1	16	yes	—
31	#1956	C₂²	1	8	yes	—
32	#1878	C₂²	1	32	yes	—
33	#1844	C₂²	1	2	yes	—
34	#1834	C₂²	1	2	yes	—
35	#1807	C₂²	1	4	yes	—
36	#1787	C₂²	1	8	yes	—
37	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
38	#1770	C₂²	1	4	yes	—
39	#1752	C₂²	1	4	yes	—
40	#1744	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	—	4	16	no	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	32	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	16	yes	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#494	C₂×C₄	1	16	yes	—
61	#494	C₂×C₄	1	32	yes	—
62	#494	C₂×C₄	1	16	yes	—
63	#441	—	4	32	no	—
64	#431	—	2	4	no	—
65	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#103	C₂³	1	32	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	#391	—	2	16	no	—
76	#391	C₂³	1	16	yes	—
77	#389	—	2	8	no	—
78	#389	—	2	8	no	—
79	#389	—	2	8	no	—
80	#387	—	2	16	no	—
81	#384	C₂³	1	4	yes	—
82	#382	—	2	2	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	#380	—	2	8	no	—
85	#380	C₂³	1	4	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	#376	D₄	1	2	yes	—
97	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
98	#340	C₂³	1	8	yes	—
99	#336	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	4	64	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
112	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
113	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
123	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
124	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
125	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
126	#117	—	2	8	no	—
127	#117	—	4	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#106	—	2	16	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
154	#103	—	4	32	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
156	#97	—	2	16	no	—
157	C₄×C₈	—	2	4	no	—
158	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	#95	—	2	16	no	—
162	#95	—	2	16	no	—
163	#95	—	2	4	no	—
164	#95	—	2	4	no	—
165	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
172	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
174	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	16	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
181	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
193	Q₁₆	—	2	64	no	—
194	Q₁₆	—	4	32	no	—
195	C₂×C₈	—	2	4	no	—
196	C₂×C₈	—	2	16	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	8	no	—
199	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
200	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
202	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₄²	—	2	8	no	—
214	C₄²	—	2	8	no	—
215	C₄²	—	2	8	no	—
216	C₄²	—	4	8	no	—
217	C₄²	—	8	16	no	—
218	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
220	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
221	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
223	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
228	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	2	32	no	—
230	Q₈	—	4	16	no	—
231	Q₈	—	8	16	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂×C₄	—	8	16	no	—
246	C₂×C₄	#441	1	16	yes	complemented
247	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
258	C₈	—	2	4	no	—
259	C₈	—	4	4	no	—
260	C₈	#518	1	8	yes	—
261	C₂²	—	2	2	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	8	no	—
264	C₂²	C₂×#441	1	4	yes	—
265	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	#3498	1	2	yes	—
267	C₂²	C₂²×#137	1	2	yes	—
268	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	2	2	no	—
271	C₄	—	4	16	no	—
272	C₄	—	4	8	no	—
273	C₄	—	8	8	no	—
274	C₄	C₂×#441	1	4	yes	—
275	C₄	C₂×#441	1	4	yes	—
276	C₄	#2950	1	4	yes	—
277	C₄	C₂×#518	1	2	yes	—
278	C₄	#3508	1	2	yes	—
279	C₂	—	2	4	no	—
280	C₂	#34210	1	1	yes	characteristic
281	C₂	C₂²×#441	1	1	yes	characteristic
282	C₂	C₂×#2950	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#62424	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #23187	C₂	semidirect
5. #22270	C₂	semidirect
7. #21691	C₂	semidirect
12. C₂×#494	C₄	semidirect
246. C₂×C₄	#441	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#494	2
#34216	2
#23187	2
#22440	2
#22270	2
#21804	2
#21691	2
#20816	2
#20473	2