Subgroups — #6393650

Order 512.

3986 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#446	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#34187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22545	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22523	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21888	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21884	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#21408	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#21401	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
11	#3497	—	2	8	no	—
12	#3497	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#550	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#548	—	2	4	no	—
16	C₂×#537	—	2	2	no	—
17	C₂×#537	—	2	1	no	—
18	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#532	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#446	—	2	8	no	—
22	C₂×#446	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2356	—	2	4	no	—
28	#2355	C₂²	1	8	yes	—
29	#2313	—	2	2	no	—
30	#2310	—	2	1	no	—
31	#2285	C₂²	1	2	yes	—
32	#2283	C₂²	1	4	yes	—
33	#2274	—	2	1	no	—
34	#1993	C₂²	1	8	yes	—
35	#1990	C₂²	1	4	yes	—
36	#1988	C₂²	1	4	yes	—
37	#1987	C₂²	1	8	yes	—
38	#1982	C₂²	1	4	yes	—
39	#1982	C₂²	1	8	yes	—
40	#1961	C₂²	1	8	yes	—
41	#1957	C₂²	1	4	yes	—
42	#1893	C₂²	1	8	yes	—
43	#1893	C₂²	1	4	yes	—
44	#1893	C₂²	1	4	yes	—
45	#1804	C₂²	1	16	yes	—
46	#1802	C₂²	1	8	yes	—
47	#1762	C₂²	1	16	yes	—
48	C₄×#102	C₂²	1	8	yes	—
49	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
50	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
51	C₂²×#41	—	2	4	no	—
52	C₂²×#41	—	2	4	no	—
53	C₂²×#41	—	2	2	no	—
54	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	#550	—	2	16	no	—
60	#550	C₂×C₄	1	32	yes	—
61	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
62	D₄×Q₈	C₂×C₄	1	32	yes	—
63	#548	—	2	64	no	—
64	#537	—	2	32	no	—
65	#537	—	2	16	no	—
66	#532	—	2	8	no	—
67	#532	—	2	16	no	—
68	#532	C₂×C₄	1	16	yes	—
69	#532	C₂×C₄	1	32	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#124	—	2	4	no	—
75	C₂×#124	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
78	C₂×#121	—	2	4	no	—
79	C₂×#121	—	2	2	no	—
80	C₂×#121	—	2	4	no	—
81	C₂×#121	—	2	8	no	—
82	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
85	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#117	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
96	#446	—	2	32	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×#97	—	2	8	no	—
105	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	#391	—	2	8	no	—
109	#387	—	2	16	no	—
110	#384	C₂³	1	4	yes	—
111	#383	—	2	4	no	—
112	#382	—	2	2	no	—
113	#382	C₂³	1	8	yes	—
114	#381	—	2	4	no	—
115	#380	—	2	2	no	—
116	#380	C₂³	1	4	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	#376	—	2	4	no	—
123	#340	C₂³	1	16	yes	—
124	#340	C₂³	1	8	yes	—
125	#340	C₂³	1	8	yes	—
126	2₋¹⁺⁴	—	4	128	no	—
127	C₂×#41	—	2	32	no	—
128	C₂×#41	—	2	32	no	—
129	C₂×#41	—	2	16	no	—
130	C₂×#41	—	4	32	no	—
131	C₂×#41	—	4	16	no	—
132	C₂×#41	—	4	16	no	—
133	C₂×#41	—	4	8	no	—
134	C₂×#41	—	4	8	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
140	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
141	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
142	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
167	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
168	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	#127	—	2	4	no	—
170	#127	—	2	8	no	—
171	#127	C₂²×C₄	1	8	yes	—
172	#127	C₂²×C₄	1	16	yes	—
173	#124	—	2	32	no	—
174	#124	—	2	16	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
177	#121	—	2	16	no	—
178	#121	—	2	32	no	—
179	#121	—	2	8	no	—
180	#121	—	2	64	no	—
181	#121	—	2	32	no	—
182	#121	C₂²×C₄	1	16	yes	—
183	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
184	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
185	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
186	C₄×D₄	—	2	32	no	—
187	C₄×D₄	—	2	16	no	—
188	C₄×D₄	—	2	8	no	—
189	C₄×D₄	—	2	16	no	—
190	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
191	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
192	#117	—	4	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
219	#102	—	2	16	no	—
220	#102	—	4	16	no	—
221	#102	—	4	8	no	—
222	#97	—	2	16	no	—
223	C₄×C₈	—	2	8	no	—
224	#95	—	2	4	no	—
225	#95	—	2	8	no	—
226	#95	—	2	8	no	—
227	#95	—	2	4	no	—
228	#95	—	2	8	no	—
229	C₂⁴	—	2	4	no	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	#41	—	4	128	no	—
232	#41	—	4	128	no	—
233	#41	—	4	64	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
244	C₂×D₄	—	2	16	no	—
245	C₂×D₄	—	2	16	no	—
246	C₂×D₄	—	2	8	no	—
247	C₂×D₄	—	2	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	16	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	8	no	—
251	C₂×D₄	—	2	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	16	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×D₄	—	8	4	no	—
259	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	—	2	8	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	8	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	8	no	—
295	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	complemented
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
303	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
304	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
305	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄²	—	4	8	no	—
311	C₄²	—	8	8	no	—
312	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
313	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
314	C₄²	C₂³×C₄	1	8	yes	—
315	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
316	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	8	yes	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	8	no	—
321	C₂³	—	4	8	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
327	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
328	Q₈	—	2	32	no	—
329	Q₈	—	4	32	no	—
330	Q₈	—	4	16	no	—
331	D₄	—	2	16	no	—
332	D₄	—	4	32	no	—
333	D₄	—	4	32	no	—
334	D₄	—	4	16	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	8	16	no	—
338	D₄	—	8	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	16	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	8	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	64	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	32	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	#418	1	16	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
361	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
362	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
369	C₈	—	2	4	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	2	8	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	4	8	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	8	8	no	—
379	C₂²	—	8	8	no	—
380	C₂²	C₂×#418	1	4	yes	—
381	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#3497	1	2	yes	—
383	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
384	C₂²	#3584	1	2	yes	—
385	C₄	—	2	8	no	—
386	C₄	—	2	8	no	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	4	8	no	—
390	C₄	—	8	8	no	—
391	C₄	C₂×#418	1	8	yes	—
392	C₄	C₄×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
393	C₄	#3486	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#3487	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	2	4	no	—
396	C₂	—	8	8	no	—
397	C₂	#34257	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂²×#418	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#60086	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#62365	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3497	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#446	C₂	semidirect
3. #34187	C₂	semidirect
4. #22545	C₂	semidirect
5. #22523	C₂	semidirect
6. #21888	C₂	semidirect
7. #21884	C₂	semidirect
8. #21408	C₂	semidirect
9. #21401	C₂	semidirect
12. #3497	C₄	semidirect
295. C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3497	2
C₂²×#446	2
#34187	2
#22545	2
#22523	2
#21888	2
#21884	2
#21408	2
#21401	2