Subgroups — #6393751

Order 512.

4594 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#34129	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22540	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22428	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	#21893	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#21803	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#21390	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#21260	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂²×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
11	#3498	—	2	8	no	—
12	#3498	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#550	—	2	1	no	—
14	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×D₄²	—	2	3	no	—
16	C₂×D₄²	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×#535	—	2	3	no	—
18	C₂×#532	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂²×#127	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2991	—	2	8	no	—
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#436	C₂²	1	6	yes	complemented
24	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	complemented
25	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	complemented
26	C₂×#418	C₂²	1	12	yes	complemented
27	#2354	C₂²	1	6	yes	complemented
28	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#2346	—	2	3	no	—
30	#2341	—	2	1	no	—
31	#2293	—	2	3	no	—
32	#2285	C₂²	1	3	yes	complemented
33	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
34	C₄×#117	C₂²	1	3	yes	complemented
35	#1987	C₂²	1	3	yes	complemented
36	#1987	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#1982	C₂²	1	3	yes	complemented
38	#1982	C₂²	1	12	yes	complemented
39	#1982	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#1982	C₂²	1	3	yes	complemented
41	#1957	C₂²	1	12	yes	complemented
42	#1895	C₂²	1	12	yes	complemented
43	#1875	C₂²	1	12	yes	complemented
44	#1802	C₂²	1	12	yes	complemented
45	#1786	C₂²	1	12	yes	complemented
46	C₄×#102	C₂²	1	12	yes	complemented
47	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
48	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
49	C₂²×#41	—	2	2	no	—
50	C₂²×#41	—	2	3	no	—
51	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
53	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
54	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
55	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
57	#550	—	2	16	no	—
58	#550	—	2	8	no	—
59	#550	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	D₄²	—	2	48	no	—
61	D₄²	—	2	24	no	—
62	D₄²	C₂×C₄	1	48	yes	—
63	#535	—	2	48	no	—
64	#532	—	2	12	no	—
65	#532	C₂×C₄	1	24	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#127	—	2	3	no	—
68	C₂×#127	—	2	3	no	—
69	C₂×#127	—	2	12	no	—
70	C₂×#127	C₂×C₄	1	24	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂×#124	—	2	3	no	—
74	C₂×#121	—	2	3	no	—
75	C₂×#121	—	2	6	no	—
76	C₂×#121	—	2	6	no	—
77	C₂×#121	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂×#120	—	2	12	no	—
79	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
85	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
88	C₂×#117	—	2	3	no	—
89	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
90	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
92	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
93	#436	—	2	24	no	—
94	#431	—	2	12	no	—
95	#423	—	2	12	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#418	—	4	24	no	—
100	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	24	yes	—
102	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
105	#390	—	2	6	no	—
106	#389	—	2	6	no	—
107	#388	—	2	12	no	—
108	#384	C₂³	1	6	yes	—
109	#382	—	2	3	no	—
110	#380	—	2	3	no	—
111	#380	C₂³	1	6	yes	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
118	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
119	#376	—	2	3	no	—
120	C₄³	—	2	3	no	—
121	#340	C₂³	1	12	yes	—
122	#340	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂⁵	—	2	6	no	—
124	H(5,𝔽₂)	—	4	128	no	—
125	C₂×#41	—	2	16	no	—
126	C₂×#41	—	2	8	no	—
127	C₂×#41	—	2	24	no	—
128	C₂×#41	—	4	24	no	—
129	C₂×#41	—	4	16	no	—
130	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
143	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
145	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
146	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
147	C₂²×D₄	—	8	6	no	—
148	C₂²×D₄	—	8	6	no	—
149	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
150	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
151	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
152	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
156	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
157	C₂×M₁₆	—	4	12	no	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	#127	—	2	24	no	—
163	#127	—	2	24	no	—
164	#127	—	2	6	no	—
165	#127	—	2	12	no	—
166	#127	C₂²×C₄	1	12	yes	—
167	#127	C₂²×C₄	1	24	yes	—
168	#124	—	2	24	no	—
169	#121	—	2	24	no	—
170	#121	—	2	12	no	—
171	#121	—	2	48	no	—
172	#121	—	2	48	no	—
173	#121	C₂²×C₄	1	24	yes	—
174	#120	—	2	96	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
176	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₄×D₄	—	2	24	no	—
180	C₄×D₄	—	2	12	no	—
181	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
182	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
183	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
184	C₄×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
185	#117	—	2	12	no	—
186	#117	—	4	6	no	—
187	#117	—	8	6	no	—
188	#117	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
202	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
215	#102	—	2	24	no	—
216	#102	—	4	12	no	—
217	#102	—	4	24	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
219	C₄×C₈	—	2	12	no	—
220	#95	—	2	1	no	—
221	#95	—	2	3	no	—
222	#95	—	2	6	no	—
223	#95	—	2	6	no	—
224	C₂⁴	—	2	6	no	—
225	C₂⁴	—	2	24	no	—
226	C₂⁴	—	4	24	no	—
227	C₂⁴	—	8	12	no	—
228	C₂⁴	—	8	6	no	—
229	C₂⁴	—	8	6	no	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
231	#41	—	2	32	no	—
232	#41	—	4	96	no	—
233	#41	—	4	64	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
238	C₂×D₄	—	2	24	no	—
239	C₂×D₄	—	2	12	no	—
240	C₂×D₄	—	2	24	no	—
241	C₂×D₄	—	2	12	no	—
242	C₂×D₄	—	2	24	no	—
243	C₂×D₄	—	2	24	no	—
244	C₂×D₄	—	2	12	no	—
245	C₂×D₄	—	2	6	no	—
246	C₂×D₄	—	2	12	no	—
247	C₂×D₄	—	2	12	no	—
248	C₂×D₄	—	4	48	no	—
249	C₂×D₄	—	4	12	no	—
250	C₂×D₄	—	4	96	no	—
251	C₂×D₄	—	4	192	no	—
252	C₂×D₄	—	4	24	no	—
253	C₂×D₄	—	4	24	no	—
254	C₂×D₄	—	4	6	no	—
255	C₂×D₄	—	4	6	no	—
256	C₂×D₄	—	8	12	no	—
257	C₂×D₄	—	8	12	no	—
258	C₂×D₄	—	8	48	no	—
259	C₂×D₄	—	8	12	no	—
260	C₂×D₄	—	8	6	no	—
261	C₂×D₄	—	8	6	no	—
262	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
263	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
264	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
284	M₁₆	—	8	12	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	6	no	—
287	C₂×C₈	—	2	12	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
295	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
296	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
297	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
299	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	complemented
300	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
304	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
305	C₄²	—	4	12	no	—
306	C₄²	—	4	12	no	—
307	C₄²	—	4	6	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
310	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
311	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
313	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
314	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂³	—	2	6	no	—
316	C₂³	—	2	6	no	—
317	C₂³	—	2	3	no	—
318	C₂³	—	2	3	no	—
319	C₂³	—	2	12	no	—
320	C₂³	—	4	48	no	—
321	C₂³	—	4	12	no	—
322	C₂³	—	4	12	no	—
323	C₂³	—	4	6	no	—
324	C₂³	—	4	6	no	—
325	C₂³	—	8	24	no	—
326	C₂³	—	8	24	no	—
327	C₂³	—	16	24	no	—
328	C₂³	—	16	24	no	—
329	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
330	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	4	8	no	—
332	Q₈	#418	1	16	yes	complemented
333	D₄	—	2	24	no	—
334	D₄	—	2	24	no	—
335	D₄	—	4	24	no	—
336	D₄	—	4	48	no	—
337	D₄	—	4	48	no	—
338	D₄	—	4	24	no	—
339	D₄	—	4	6	no	—
340	D₄	—	4	6	no	—
341	D₄	—	8	24	no	—
342	D₄	—	8	24	no	—
343	C₂×C₄	—	2	6	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	3	no	—
346	C₂×C₄	—	2	3	no	—
347	C₂×C₄	—	2	24	no	—
348	C₂×C₄	—	2	24	no	—
349	C₂×C₄	—	2	12	no	—
350	C₂×C₄	—	2	6	no	—
351	C₂×C₄	—	2	6	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	48	no	—
358	C₂×C₄	—	4	6	no	—
359	C₂×C₄	—	4	6	no	—
360	C₂×C₄	—	4	6	no	—
361	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
364	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
365	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	12	yes	—
367	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
373	C₈	—	4	6	no	—
374	C₈	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	2	6	no	—
376	C₂²	—	2	6	no	—
377	C₂²	—	2	6	no	—
378	C₂²	—	4	6	no	—
379	C₂²	—	4	6	no	—
380	C₂²	—	4	12	no	—
381	C₂²	—	4	12	no	—
382	C₂²	—	4	12	no	—
383	C₂²	—	8	12	no	—
384	C₂²	—	8	12	no	—
385	C₂²	—	16	48	no	—
386	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#3488	1	2	yes	—
388	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
389	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	2	6	no	—
393	C₄	—	2	6	no	—
394	C₄	—	4	4	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	8	6	no	—
397	C₄	C₂×#418	1	12	yes	—
398	C₄	#2897	1	4	yes	—
399	C₄	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
400	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#3500	1	1	yes	characteristic
402	C₂	—	4	6	no	—
403	C₂	—	8	12	no	—
404	C₂	#34258	1	1	yes	characteristic
405	C₂	C₂²×#418	1	1	yes	characteristic
406	C₂	C₂×#2897	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#61999	1	2	yes	—
408	C₂	#62001	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3498	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2991	C₂	semidirect
3. #34129	C₂	semidirect
4. #22540	C₂	semidirect
5. #22428	C₂	semidirect
6. #21893	C₂	semidirect
7. #21803	C₂	semidirect
8. #21390	C₂	semidirect
9. #21260	C₂	semidirect
12. #3498	C₄	semidirect
22. C₂×C₈×Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#436	C₂²	semidirect
24. C₂×#431	C₂²	semidirect
25. C₂×#423	C₂²	semidirect
26. C₂×#418	C₂²	semidirect
27. #2354	C₂²	semidirect
28. Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
32. #2285	C₂²	semidirect
34. C₄×#117	C₂²	semidirect
35. #1987	C₂²	semidirect
36. #1987	C₂²	semidirect
37. #1982	C₂²	semidirect
38. #1982	C₂²	semidirect
39. #1982	C₂²	semidirect
40. #1982	C₂²	semidirect
41. #1957	C₂²	semidirect
42. #1895	C₂²	semidirect
43. #1875	C₂²	semidirect
44. #1802	C₂²	semidirect
45. #1786	C₂²	semidirect
46. C₄×#102	C₂²	semidirect
299. C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	semidirect
332. Q₈	#418	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3498	2
C₂×#2991	2
#34129	2
#22540	2
#22428	2
#21893	2
#21803	2
#21390	2
#21260	2