Subgroups — #6393825

Order 512.

4556 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 399 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#34193	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22540	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22428	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	#21869	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#21810	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#21405	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#21203	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂²×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
11	#3498	—	2	8	no	—
12	#3498	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#550	—	2	1	no	—
14	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×D₄²	—	2	3	no	—
16	C₂×D₄²	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×#535	—	2	3	no	—
18	C₂×#532	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂²×#127	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2971	—	2	8	no	—
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#436	C₂²	1	6	yes	complemented
24	C₂×#432	C₂²	1	3	yes	complemented
25	C₂×#418	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	3	yes	complemented
27	#2354	C₂²	1	6	yes	complemented
28	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#2347	—	2	3	no	—
30	#2341	—	2	1	no	—
31	#2319	—	2	3	no	—
32	#2285	C₂²	1	3	yes	complemented
33	#2283	C₂²	1	3	yes	complemented
34	#2276	—	2	1	no	—
35	#1993	C₂²	1	3	yes	complemented
36	#1993	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#1982	C₂²	1	12	yes	complemented
38	#1961	C₂²	1	3	yes	complemented
39	#1961	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#1961	C₂²	1	3	yes	complemented
41	#1957	C₂²	1	12	yes	complemented
42	#1895	C₂²	1	12	yes	complemented
43	#1875	C₂²	1	12	yes	complemented
44	#1802	C₂²	1	12	yes	complemented
45	#1786	C₂²	1	12	yes	complemented
46	C₄×#102	C₂²	1	12	yes	complemented
47	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
48	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
49	C₂²×#41	—	2	2	no	—
50	C₂²×#41	—	2	3	no	—
51	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
53	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
54	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
55	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
57	#550	—	2	16	no	—
58	#550	—	2	8	no	—
59	#550	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	D₄²	—	2	48	no	—
61	D₄²	—	2	24	no	—
62	D₄²	C₂×C₄	1	48	yes	—
63	#535	—	2	48	no	—
64	#532	—	2	12	no	—
65	#532	C₂×C₄	1	24	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#127	—	2	3	no	—
68	C₂×#127	—	2	3	no	—
69	C₂×#127	—	2	12	no	—
70	C₂×#127	C₂×C₄	1	24	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂×#124	—	2	3	no	—
74	C₂×#121	—	2	3	no	—
75	C₂×#121	—	2	6	no	—
76	C₂×#121	—	2	6	no	—
77	C₂×#121	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂×#120	—	2	12	no	—
79	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
85	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
88	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
89	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
91	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
92	#436	—	2	24	no	—
93	#432	—	2	12	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
95	#418	—	4	24	no	—
96	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
97	C₂×#102	C₂³	1	24	yes	—
98	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
100	C₄×M₁₆	—	2	12	no	—
101	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
104	#390	—	2	6	no	—
105	#389	—	2	6	no	—
106	#388	—	2	12	no	—
107	#384	C₂³	1	6	yes	—
108	#383	—	2	3	no	—
109	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#382	C₂³	1	3	yes	—
111	#381	—	2	3	no	—
112	#380	—	2	3	no	—
113	#380	—	2	3	no	—
114	#380	C₂³	1	6	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
116	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
119	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
120	#376	—	2	3	no	—
121	#340	C₂³	1	12	yes	—
122	#340	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂⁵	—	2	6	no	—
124	H(5,𝔽₂)	—	4	128	no	—
125	C₂×#41	—	2	16	no	—
126	C₂×#41	—	2	8	no	—
127	C₂×#41	—	2	24	no	—
128	C₂×#41	—	4	24	no	—
129	C₂×#41	—	4	16	no	—
130	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
143	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
145	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
146	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
147	C₂²×D₄	—	8	12	no	—
148	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
149	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
150	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
151	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
155	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
157	C₂×M₁₆	—	4	6	no	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	#127	—	2	24	no	—
163	#127	—	2	24	no	—
164	#127	—	2	6	no	—
165	#127	—	2	12	no	—
166	#127	C₂²×C₄	1	12	yes	—
167	#127	C₂²×C₄	1	24	yes	—
168	#124	—	2	24	no	—
169	#121	—	2	24	no	—
170	#121	—	2	12	no	—
171	#121	—	2	48	no	—
172	#121	—	2	48	no	—
173	#121	C₂²×C₄	1	24	yes	—
174	#120	—	2	96	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
176	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₄×D₄	—	2	24	no	—
180	C₄×D₄	—	2	12	no	—
181	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
182	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
183	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
184	C₄×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
185	#117	—	4	12	no	—
186	#117	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
200	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
209	#102	—	2	24	no	—
210	#102	—	4	12	no	—
211	#102	—	4	24	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
213	#97	—	2	2	no	—
214	#97	—	2	6	no	—
215	C₄×C₈	—	2	12	no	—
216	#95	—	2	1	no	—
217	#95	—	2	3	no	—
218	#95	—	2	6	no	—
219	#95	—	2	1	no	—
220	#95	—	2	3	no	—
221	#95	—	2	6	no	—
222	C₂⁴	—	2	6	no	—
223	C₂⁴	—	2	24	no	—
224	C₂⁴	—	4	24	no	—
225	C₂⁴	—	8	6	no	—
226	C₂⁴	—	8	6	no	—
227	C₂⁴	—	8	12	no	—
228	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
229	#41	—	2	32	no	—
230	#41	—	4	96	no	—
231	#41	—	4	64	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
236	C₂×D₄	—	2	24	no	—
237	C₂×D₄	—	2	12	no	—
238	C₂×D₄	—	2	24	no	—
239	C₂×D₄	—	2	12	no	—
240	C₂×D₄	—	2	24	no	—
241	C₂×D₄	—	2	24	no	—
242	C₂×D₄	—	2	12	no	—
243	C₂×D₄	—	2	6	no	—
244	C₂×D₄	—	2	12	no	—
245	C₂×D₄	—	2	12	no	—
246	C₂×D₄	—	4	48	no	—
247	C₂×D₄	—	4	12	no	—
248	C₂×D₄	—	4	96	no	—
249	C₂×D₄	—	4	12	no	—
250	C₂×D₄	—	4	192	no	—
251	C₂×D₄	—	4	24	no	—
252	C₂×D₄	—	4	24	no	—
253	C₂×D₄	—	8	24	no	—
254	C₂×D₄	—	8	6	no	—
255	C₂×D₄	—	8	6	no	—
256	C₂×D₄	—	8	12	no	—
257	C₂×D₄	—	8	48	no	—
258	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
259	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
260	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
279	M₁₆	—	4	24	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	6	no	—
283	C₂×C₈	—	2	6	no	—
284	C₂×C₈	—	2	6	no	—
285	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	complemented
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
291	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
292	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
293	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
294	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
299	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
300	C₄²	—	4	12	no	—
301	C₄²	—	8	6	no	—
302	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
303	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
304	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
306	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
307	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₂³	—	2	6	no	—
309	C₂³	—	2	3	no	—
310	C₂³	—	2	3	no	—
311	C₂³	—	2	6	no	—
312	C₂³	—	2	12	no	—
313	C₂³	—	4	48	no	—
314	C₂³	—	4	12	no	—
315	C₂³	—	4	6	no	—
316	C₂³	—	4	6	no	—
317	C₂³	—	4	12	no	—
318	C₂³	—	8	24	no	—
319	C₂³	—	8	24	no	—
320	C₂³	—	16	24	no	—
321	C₂³	—	16	24	no	—
322	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
323	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
324	Q₈	—	4	8	no	—
325	Q₈	#418	1	16	yes	complemented
326	D₄	—	2	24	no	—
327	D₄	—	2	24	no	—
328	D₄	—	4	24	no	—
329	D₄	—	4	24	no	—
330	D₄	—	4	48	no	—
331	D₄	—	4	48	no	—
332	D₄	—	4	12	no	—
333	D₄	—	8	24	no	—
334	D₄	—	8	24	no	—
335	C₂×C₄	—	2	6	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	3	no	—
338	C₂×C₄	—	2	3	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	24	no	—
341	C₂×C₄	—	2	12	no	—
342	C₂×C₄	—	2	12	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	12	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	48	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	6	no	—
349	C₂×C₄	—	4	6	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	6	no	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
356	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	12	yes	—
359	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
363	C₈	—	2	4	no	—
364	C₈	—	4	6	no	—
365	C₂²	—	2	6	no	—
366	C₂²	—	2	6	no	—
367	C₂²	—	2	6	no	—
368	C₂²	—	4	6	no	—
369	C₂²	—	4	6	no	—
370	C₂²	—	4	12	no	—
371	C₂²	—	4	12	no	—
372	C₂²	—	4	12	no	—
373	C₂²	—	8	12	no	—
374	C₂²	—	8	12	no	—
375	C₂²	—	16	48	no	—
376	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#3500	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
380	C₂²	#3585	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	2	6	no	—
384	C₄	—	2	6	no	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	8	2	no	—
387	C₄	—	8	6	no	—
388	C₄	C₂×#418	1	12	yes	—
389	C₄	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
390	C₄	#3488	1	2	yes	—
391	C₂	—	4	6	no	—
392	C₂	—	8	12	no	—
393	C₂	#34258	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂²×#418	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#60087	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#62453	1	2	yes	—
397	C₂	#62588	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3498	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2971	C₂	semidirect
3. #34193	C₂	semidirect
4. #22540	C₂	semidirect
5. #22428	C₂	semidirect
6. #21869	C₂	semidirect
7. #21810	C₂	semidirect
8. #21405	C₂	semidirect
9. #21203	C₂	semidirect
12. #3498	C₄	semidirect
22. C₂×C₈×Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#436	C₂²	semidirect
24. C₂×#432	C₂²	semidirect
25. C₂×#418	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
27. #2354	C₂²	semidirect
28. Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
32. #2285	C₂²	semidirect
33. #2283	C₂²	semidirect
35. #1993	C₂²	semidirect
36. #1993	C₂²	semidirect
37. #1982	C₂²	semidirect
38. #1961	C₂²	semidirect
39. #1961	C₂²	semidirect
40. #1961	C₂²	semidirect
41. #1957	C₂²	semidirect
42. #1895	C₂²	semidirect
43. #1875	C₂²	semidirect
44. #1802	C₂²	semidirect
45. #1786	C₂²	semidirect
46. C₄×#102	C₂²	semidirect
285. C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	semidirect
325. Q₈	#418	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3498	2
C₂×#2971	2
#34193	2
#22540	2
#22428	2
#21869	2
#21810	2
#21405	2
#21203	2