Subgroups — #6404558

Order 512.

1880 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34337	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23184	C₂	1	3	yes	maximal
4	#22998	C₂	1	6	yes	maximal
5	Q₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₄⋊C₄×Q₁₆	C₂	1	3	yes	maximal
7	#22542	C₂	1	2	yes	maximal
8	#22148	C₂	1	6	yes	maximal
9	C₄×#494	C₂	1	3	yes	maximal
10	#21276	C₂	1	3	yes	maximal
11	C₄×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#557	C₂²	1	2	yes	—
13	#3395	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#462	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
21	#2370	—	2	6	no	—
22	#2365	C₂²	1	6	yes	—
23	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
24	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
26	#2330	—	2	6	no	—
27	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	6	yes	—
28	#2295	C₂²	1	6	yes	—
29	#2276	—	2	2	no	—
30	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1981	C₂²	1	6	yes	—
32	#1969	C₂²	1	3	yes	—
33	#1969	C₂²	1	3	yes	—
34	#1969	C₂²	1	6	yes	—
35	#1956	C₂²	1	6	yes	—
36	#1947	C₂²	1	6	yes	—
37	#1942	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1942	C₂²	1	3	yes	—
39	#1933	C₂²	1	6	yes	—
40	#1933	C₂²	1	6	yes	—
41	#1878	C₂²	1	12	yes	—
42	#1863	C₂²	1	12	yes	—
43	#1845	C₂²	1	3	yes	—
44	#1803	C₂²	1	6	yes	—
45	C₄×#107	C₂²	1	3	yes	—
46	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
47	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
48	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
49	C₄×#103	C₂²	1	6	yes	—
50	C₄²×C₈	C₂²	1	3	yes	—
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
53	#557	—	2	8	no	—
54	#557	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂×#125	—	2	6	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#494	C₂×C₄	1	24	yes	—
65	#462	C₂×C₄	1	48	yes	—
66	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
67	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₄×Q₁₆	—	4	12	no	—
69	C₄×Q₁₆	—	4	12	no	—
70	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	24	yes	—
71	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
87	#391	C₂³	1	6	yes	—
88	#391	C₂³	1	6	yes	—
89	#389	—	2	6	no	—
90	#389	—	2	6	no	—
91	#389	—	2	6	no	—
92	#389	—	2	6	no	—
93	#389	—	2	12	no	—
94	#389	C₂³	1	6	yes	—
95	#389	C₂³	1	2	yes	—
96	#387	—	2	6	no	—
97	#387	—	2	6	no	—
98	#387	—	2	12	no	—
99	#384	—	2	6	no	—
100	#384	C₂³	1	6	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
107	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
109	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
110	#376	—	2	6	no	—
111	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
112	#340	C₂³	1	6	yes	—
113	#340	C₂³	1	6	yes	—
114	#340	C₂³	1	2	yes	—
115	#336	C₂³	1	6	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
122	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	12	yes	—
123	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	24	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
129	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
130	#125	—	2	48	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
137	C₄×Q₈	Q₁₆	1	8	yes	complemented
138	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
139	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
165	#107	—	2	6	no	—
166	#107	—	2	2	no	—
167	#107	—	4	6	no	—
168	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
170	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
171	#103	—	2	12	no	—
172	#103	—	4	6	no	—
173	#103	—	4	12	no	—
174	#103	C₂²×C₄	1	24	yes	—
175	C₄×C₈	—	2	6	no	—
176	C₄×C₈	—	2	6	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	6	no	—
179	C₄×C₈	—	4	3	no	—
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
181	#95	—	2	2	no	—
182	#95	—	2	6	no	—
183	#95	—	2	6	no	—
184	#95	—	2	6	no	—
185	#95	—	2	6	no	—
186	#95	—	2	6	no	—
187	#95	—	2	6	no	—
188	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
189	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
194	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
196	C₂×Q₈	#135	1	4	yes	—
197	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	12	yes	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
209	Q₁₆	—	2	24	no	—
210	Q₁₆	—	4	24	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	3	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	3	no	—
215	C₂×C₈	—	2	3	no	—
216	C₂×C₈	—	2	3	no	—
217	C₂×C₈	—	2	3	no	—
218	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
219	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
235	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
236	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
237	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	12	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	—
239	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
240	C₄²	—	2	24	no	—
241	C₄²	—	2	6	no	—
242	C₄²	—	2	6	no	—
243	C₄²	—	2	3	no	—
244	C₄²	—	2	3	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	4	3	no	—
248	C₄²	—	4	12	no	—
249	C₄²	—	8	12	no	—
250	C₄²	C₂×Q₁₆	1	12	yes	—
251	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
252	C₄²	C₂×#41	1	6	yes	—
253	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	2	12	no	—
255	Q₈	—	2	12	no	—
256	Q₈	—	4	6	no	—
257	Q₈	—	4	6	no	—
258	Q₈	C₄×Q₁₆	1	16	yes	complemented
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	3	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	3	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	3	no	—
266	C₂×C₄	—	2	3	no	—
267	C₂×C₄	—	2	3	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	12	no	—
270	C₂×C₄	—	2	3	no	—
271	C₂×C₄	—	2	3	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	6	no	—
274	C₂×C₄	—	4	6	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	6	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	6	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	6	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	6	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	6	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#135	1	6	yes	—
288	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
295	C₈	—	2	6	no	—
296	C₈	—	2	2	no	—
297	C₈	—	4	3	no	—
298	C₈	#520	1	4	yes	—
299	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#3497	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
306	C₄	—	2	6	no	—
307	C₄	—	2	2	no	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	2	6	no	—
310	C₄	—	4	12	no	—
311	C₄	—	4	4	no	—
312	C₄	—	4	3	no	—
313	C₄	—	8	2	no	—
314	C₄	—	8	6	no	—
315	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	12	yes	—
316	C₄	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
317	C₄	C₄×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#3517	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#3522	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#34313	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂²×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₄×#578	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#62360	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#62364	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#62416	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#62420	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. #3395	C₄	semidirect
137. C₄×Q₈	Q₁₆	semidirect
258. Q₈	C₄×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3395	2
#34337	2
#23184	2
#22998	2
Q₈×#107	2
C₄⋊C₄×Q₁₆	2
#22542	2
#22148	2
C₄×#494	2
#21276	2
C₄×C₈×Q₈	2