Subgroups — #6404571

Order 512.

1851 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34337	C₂	1	2	yes	maximal
3	#23187	C₂	1	3	yes	maximal
4	#23004	C₂	1	6	yes	maximal
5	Q₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#22674	C₂	1	3	yes	maximal
7	#22542	C₂	1	2	yes	maximal
8	#22154	C₂	1	6	yes	maximal
9	#21691	C₂	1	3	yes	maximal
10	#21278	C₂	1	3	yes	maximal
11	Q₈×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#557	C₂²	1	2	yes	—
13	#3395	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#462	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#441	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#441	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
21	#2370	—	2	6	no	—
22	#2365	C₂²	1	6	yes	—
23	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
24	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
26	#2330	—	2	6	no	—
27	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	6	yes	—
28	#2295	C₂²	1	6	yes	—
29	#2276	—	2	2	no	—
30	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1981	C₂²	1	6	yes	—
32	#1971	C₂²	1	3	yes	—
33	#1971	C₂²	1	3	yes	—
34	#1971	C₂²	1	6	yes	—
35	#1956	C₂²	1	6	yes	—
36	#1948	C₂²	1	6	yes	—
37	#1943	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1943	C₂²	1	3	yes	—
39	#1935	C₂²	1	6	yes	—
40	#1935	C₂²	1	6	yes	—
41	#1878	C₂²	1	12	yes	—
42	#1865	C₂²	1	12	yes	—
43	#1844	C₂²	1	3	yes	—
44	#1803	C₂²	1	6	yes	—
45	C₄×#106	C₂²	1	3	yes	—
46	#1770	C₂²	1	3	yes	—
47	#1770	C₂²	1	3	yes	—
48	#1767	C₂²	1	3	yes	—
49	C₄×#103	C₂²	1	6	yes	—
50	C₄×#97	C₂²	1	3	yes	—
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
53	#557	—	2	8	no	—
54	#557	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂×#125	—	2	6	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#494	C₂×C₄	1	24	yes	—
64	#462	C₂×C₄	1	48	yes	—
65	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
66	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#441	—	4	12	no	—
68	#441	—	4	12	no	—
69	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	24	yes	—
70	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#106	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
78	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
86	#391	C₂³	1	6	yes	—
87	#391	C₂³	1	6	yes	—
88	#389	—	2	6	no	—
89	#389	—	2	6	no	—
90	#389	—	2	6	no	—
91	#389	—	2	6	no	—
92	#389	—	2	12	no	—
93	#389	C₂³	1	6	yes	—
94	#389	C₂³	1	2	yes	—
95	#387	—	2	6	no	—
96	#387	—	2	6	no	—
97	#387	—	2	12	no	—
98	#384	—	2	6	no	—
99	#384	C₂³	1	6	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	6	yes	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
108	#376	—	2	6	no	—
109	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
110	#340	C₂³	1	6	yes	—
111	#340	C₂³	1	6	yes	—
112	#340	C₂³	1	2	yes	—
113	#336	C₂³	1	6	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
120	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	12	yes	—
121	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	24	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
127	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
128	#125	—	2	48	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
135	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
136	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
159	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	#106	—	2	6	no	—
161	#106	—	2	2	no	—
162	#106	—	4	6	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
164	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
165	#103	—	2	12	no	—
166	#103	—	4	6	no	—
167	#103	—	4	12	no	—
168	#103	C₂²×C₄	1	24	yes	—
169	#97	—	2	6	no	—
170	#97	—	2	6	no	—
171	#97	—	2	2	no	—
172	#97	—	4	3	no	—
173	C₄×C₈	—	2	6	no	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
175	#95	—	2	2	no	—
176	#95	—	2	6	no	—
177	#95	—	2	6	no	—
178	#95	—	2	6	no	—
179	#95	—	2	6	no	—
180	#95	—	2	6	no	—
181	#95	—	2	6	no	—
182	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
183	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
188	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×Q₈	#137	1	8	yes	—
190	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	12	yes	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
200	Q₁₆	—	2	24	no	—
201	Q₁₆	—	4	24	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	3	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	3	no	—
206	C₂×C₈	—	2	3	no	—
207	C₂×C₈	—	2	3	no	—
208	C₂×C₈	—	2	3	no	—
209	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
210	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
214	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
225	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
226	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
227	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
228	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	12	yes	—
229	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
230	C₄²	—	2	24	no	—
231	C₄²	—	2	12	no	—
232	C₄²	—	2	3	no	—
233	C₄²	—	2	3	no	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	4	6	no	—
237	C₄²	—	4	12	no	—
238	C₄²	—	8	12	no	—
239	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
240	C₄²	C₂×#41	1	6	yes	—
241	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
242	Q₈	—	2	12	no	—
243	Q₈	—	2	12	no	—
244	Q₈	—	4	6	no	—
245	Q₈	—	4	6	no	—
246	Q₈	#441	1	16	yes	complemented
247	C₂×C₄	—	2	6	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	6	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	12	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	6	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	6	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	6	no	—
259	C₂×C₄	—	4	6	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	6	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	6	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	6	no	—
266	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	6	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	6	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#137	1	12	yes	—
269	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
275	C₈	—	2	6	no	—
276	C₈	—	2	2	no	—
277	C₈	—	4	3	no	—
278	C₈	#520	1	4	yes	—
279	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#3497	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂²×#137	1	2	yes	—
283	C₂²	#3586	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	6	no	—
285	C₄	—	4	12	no	—
286	C₄	—	4	4	no	—
287	C₄	—	4	2	no	—
288	C₄	—	4	6	no	—
289	C₄	—	8	2	no	—
290	C₄	—	8	6	no	—
291	C₄	C₂×#441	1	12	yes	—
292	C₄	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
293	C₄	C₄×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#3517	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#3522	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#34313	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂²×#441	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#60175	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#62398	1	2	yes	—
300	C₂	#62454	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. #3395	C₄	semidirect
246. Q₈	#441	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3395	2
#34337	2
#23187	2
#23004	2
Q₈×#106	2
#22674	2
#22542	2
#22154	2
#21691	2
#21278	2
Q₈×#97	2