Subgroups — #6407314

Order 512.

1640 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×Q₈²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23247	C₂	1	3	yes	maximal
3	#23149	C₂	1	6	yes	maximal
4	#22821	C₂	1	3	yes	maximal
5	#22734	C₂	1	2	yes	maximal
6	Q₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#22307	C₂	1	6	yes	maximal
8	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	3	yes	maximal
9	#21339	C₂	1	3	yes	maximal
10	#20569	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×Q₈²	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2369	C₄	1	6	yes	—
18	#2369	C₄	1	3	yes	—
19	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
20	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
21	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	3	yes	—
22	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	6	yes	—
23	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
24	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄²×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
26	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#1984	C₂²	1	6	yes	—
28	#1984	C₂²	1	12	yes	—
29	#1984	C₂²	1	3	yes	—
30	#1984	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1939	C₂²	1	6	yes	—
32	#1939	C₂²	1	6	yes	—
33	#1939	C₂²	1	3	yes	—
34	#1939	C₂²	1	3	yes	—
35	#1939	C₂²	1	6	yes	—
36	#1916	C₂²	1	6	yes	—
37	#1916	C₂²	1	12	yes	—
38	#1916	C₂²	1	6	yes	—
39	#1842	C₂²	1	3	yes	—
40	#1831	C₂²	1	6	yes	—
41	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
42	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
43	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
44	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
45	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
46	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
47	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	6	yes	—
48	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	6	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
50	#1744	C₂²	1	6	yes	—
51	C₄²×C₈	C₂²	1	3	yes	—
52	Q₈²	C₈	1	16	yes	complemented
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
65	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
66	C₈×Q₈	—	4	12	no	—
67	C₈×Q₈	Q₈	1	8	yes	complemented
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
84	#391	C₂×C₄	1	12	yes	—
85	#391	C₂×C₄	1	6	yes	—
86	#389	C₂×C₄	1	6	yes	—
87	#389	C₂×C₄	1	6	yes	—
88	#389	C₂×C₄	1	6	yes	—
89	#389	C₂×C₄	1	6	yes	—
90	#389	C₂×C₄	1	12	yes	—
91	#384	C₂×C₄	1	3	yes	—
92	#384	C₂×C₄	1	6	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
105	C₄³	C₂³	1	6	yes	—
106	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
107	#336	C₂³	1	6	yes	—
108	#336	C₂³	1	12	yes	—
109	#336	C₂³	1	2	yes	—
110	#336	C₂³	1	6	yes	—
111	#336	C₂³	1	2	yes	—
112	#336	C₂³	1	6	yes	—
113	#336	C₂³	1	6	yes	—
114	#336	C₂³	1	6	yes	—
115	#336	C₂³	1	6	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	48	yes	—
126	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	24	yes	—
127	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
134	C₄×Q₈	C₂×C₈	1	24	yes	—
135	C₄×Q₈	C₂×C₈	1	16	yes	—
136	C₄×Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
137	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
138	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
172	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
173	C₄×C₈	—	2	6	no	—
174	C₄×C₈	—	2	6	no	—
175	C₄×C₈	—	2	12	no	—
176	C₄×C₈	—	2	6	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	4	3	no	—
179	C₄×C₈	—	4	12	no	—
180	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
181	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
182	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
183	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
184	#95	C₂²×C₄	1	12	yes	—
185	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
190	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
191	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
192	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	24	yes	—
193	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
194	C₂×Q₈	#131	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	3	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	3	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	3	no	—
214	C₂×C₈	—	2	6	no	—
215	C₂×C₈	—	2	6	no	—
216	C₂×C₈	—	2	3	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	6	no	—
219	C₂×C₈	—	2	3	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
223	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
232	C₄⋊C₄	C₄×Q₈	1	12	yes	—
233	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	24	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	24	yes	—
235	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	12	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	12	yes	—
237	C₄²	—	2	6	no	—
238	C₄²	—	2	12	no	—
239	C₄²	—	2	6	no	—
240	C₄²	—	2	3	no	—
241	C₄²	—	2	6	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	3	no	—
245	C₄²	—	2	6	no	—
246	C₄²	—	4	3	no	—
247	C₄²	—	4	6	no	—
248	C₄²	—	4	6	no	—
249	C₄²	C₂²×C₈	1	24	yes	—
250	C₄²	C₂²×C₈	1	12	yes	—
251	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
252	C₄²	C₂×#41	1	6	yes	—
253	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
254	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	2	8	no	—
257	Q₈	—	4	24	no	—
258	Q₈	C₈×Q₈	1	16	yes	complemented
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	3	no	—
261	C₂×C₄	—	2	6	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	3	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	3	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	3	no	—
268	C₂×C₄	—	2	6	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	3	no	—
271	C₂×C₄	—	2	6	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	3	no	—
274	C₂×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂×C₄	—	2	3	no	—
276	C₂×C₄	—	2	6	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	6	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	6	yes	—
280	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	12	yes	—
284	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	6	yes	—
285	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	6	yes	—
286	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#131	1	6	yes	—
288	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
295	C₈	—	2	2	no	—
296	C₈	—	2	6	no	—
297	C₈	—	2	2	no	—
298	C₈	—	4	2	no	—
299	C₈	—	4	3	no	—
300	C₈	—	4	6	no	—
301	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₄×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂⁴×C₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#3573	1	1	yes	characteristic
308	C₄	—	2	6	no	—
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	2	6	no	—
312	C₄	—	2	12	no	—
313	C₄	—	4	2	no	—
314	C₄	—	4	3	no	—
315	C₄	—	4	6	no	—
316	C₄	C₂×C₈×Q₈	1	12	yes	—
317	C₄	#2982	1	4	yes	—
318	C₄	#3502	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#3503	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#3518	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#3522	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#34335	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂²×C₈×Q₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#60195	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂×#2982	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#60253	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₈×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#60328	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₈
socle, prime radical	C₂³	C₂⁴×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
52. Q₈²	C₈	semidirect
67. C₈×Q₈	Q₈	semidirect
258. Q₈	C₈×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×Q₈²	2
#23247	2
#23149	2
#22821	2
#22734	2
Q₈×C₄⋊C₈	2
#22307	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
#21339	2
#20569	2
C₄×C₈×Q₈	2