Subgroups — #6407412

Order 512.

1500 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#557	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23258	C₂	1	6	yes	maximal
3	#23153	C₂	1	3	yes	maximal
4	#22722	C₂	1	3	yes	maximal
5	Q₈×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal
6	Q₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#22301	C₂	1	6	yes	maximal
8	#21712	C₂	1	3	yes	maximal
9	#21339	C₂	1	3	yes	maximal
10	#20572	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#557	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#446	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2370	C₄	1	6	yes	—
18	#2365	C₄	1	3	yes	—
19	#2355	C₄	1	3	yes	—
20	#2351	C₄	1	2	yes	—
21	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
23	C₄×#125	C₂²	1	6	yes	—
24	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄²×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
26	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#1984	C₂²	1	3	yes	—
28	#1984	C₂²	1	3	yes	—
29	#1940	C₂²	1	12	yes	—
30	#1939	C₂²	1	6	yes	—
31	#1939	C₂²	1	6	yes	—
32	#1939	C₂²	1	6	yes	—
33	#1939	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1939	C₂²	1	3	yes	—
35	#1939	C₂²	1	6	yes	—
36	#1917	C₂²	1	12	yes	—
37	#1916	C₂²	1	6	yes	—
38	#1916	C₂²	1	6	yes	—
39	#1842	C₂²	1	6	yes	—
40	#1842	C₂²	1	3	yes	—
41	#1770	C₂²	1	6	yes	—
42	#1770	C₂²	1	6	yes	—
43	#1770	C₂²	1	6	yes	—
44	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
45	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
46	#1767	C₂²	1	6	yes	—
47	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
48	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	6	yes	—
50	#1744	C₂²	1	6	yes	—
51	C₄²×C₈	C₂²	1	3	yes	—
52	#557	—	2	8	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
54	C₂×#125	C₂×C₄	1	6	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#446	—	4	12	no	—
64	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
65	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
66	C₈×Q₈	Q₈	1	8	yes	complemented
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂×#97	C₂³	1	12	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
84	#391	C₂×C₄	1	6	yes	—
85	#389	C₂×C₄	1	6	yes	—
86	#389	C₂×C₄	1	6	yes	—
87	#389	C₂×C₄	1	6	yes	—
88	#389	C₂×C₄	1	6	yes	—
89	#387	C₂×C₄	1	12	yes	—
90	#387	C₂×C₄	1	12	yes	—
91	#384	C₂×C₄	1	3	yes	—
92	#382	C₂×C₄	1	6	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
105	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₄³	C₂³	1	6	yes	—
107	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
108	#336	C₂³	1	2	yes	—
109	#336	C₂³	1	6	yes	—
110	#336	C₂³	1	6	yes	—
111	#336	C₂³	1	6	yes	—
112	#336	C₂³	1	6	yes	—
113	#336	C₂³	1	6	yes	—
114	#336	C₂³	1	6	yes	—
115	#336	C₂³	1	6	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
125	#125	—	2	24	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
133	C₄×Q₈	M₁₆	1	8	yes	—
134	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
135	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
168	C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	12	no	—
170	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
171	#97	—	4	12	no	—
172	C₄×C₈	—	2	6	no	—
173	C₄×C₈	—	2	6	no	—
174	C₄×C₈	—	2	12	no	—
175	C₄×C₈	—	2	6	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	4	3	no	—
178	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
179	#95	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
181	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
182	#95	C₂²×C₄	1	6	yes	—
183	#95	C₂²×C₄	1	12	yes	—
184	#95	C₂²×C₄	1	12	yes	—
185	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
188	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
189	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
190	C₂×Q₈	#131	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	3	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	3	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	3	no	—
210	C₂×C₈	—	2	6	no	—
211	C₂×C₈	—	2	3	no	—
212	C₂×C₈	—	2	6	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	3	no	—
216	C₂×C₈	—	2	6	no	—
217	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
219	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
230	C₄⋊C₄	C₄×Q₈	1	12	yes	—
231	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	12	yes	—
232	C₄⋊C₄	#131	1	4	yes	—
233	C₄²	—	2	12	no	—
234	C₄²	—	2	6	no	—
235	C₄²	—	2	12	no	—
236	C₄²	—	2	6	no	—
237	C₄²	—	2	12	no	—
238	C₄²	—	2	6	no	—
239	C₄²	—	2	3	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	6	no	—
242	C₄²	—	2	3	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	4	3	no	—
245	C₄²	—	4	6	no	—
246	C₄²	C₂×M₁₆	1	12	yes	—
247	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
248	C₄²	C₂×#41	1	6	yes	—
249	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
251	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
252	Q₈	—	4	12	no	—
253	Q₈	#446	1	16	yes	complemented
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	3	no	—
256	C₂×C₄	—	2	3	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	3	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	3	no	—
262	C₂×C₄	—	2	6	no	—
263	C₂×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂×C₄	—	2	3	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	6	no	—
268	C₂×C₄	—	2	6	no	—
269	C₂×C₄	—	2	3	no	—
270	C₂×C₄	—	2	3	no	—
271	C₂×C₄	—	2	6	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	6	no	—
274	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	6	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	6	yes	—
276	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	6	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	6	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#131	1	6	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
290	C₈	—	2	2	no	—
291	C₈	—	2	6	no	—
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	4	3	no	—
294	C₈	—	4	6	no	—
295	C₈	—	4	2	no	—
296	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₄×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#3573	1	1	yes	characteristic
303	C₄	—	2	6	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	2	6	no	—
307	C₄	—	4	6	no	—
308	C₄	—	4	6	no	—
309	C₄	—	4	3	no	—
310	C₄	—	4	2	no	—
311	C₄	C₂×#446	1	12	yes	—
312	C₄	#2991	1	4	yes	—
313	C₄	#3502	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#3503	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#3517	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#3523	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#34337	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂²×#446	1	1	yes	characteristic
319	C₂	Q₈×#131	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂×#2991	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#60274	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#60331	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#60343	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle, prime radical	C₂³	C₂⁴×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
66. C₈×Q₈	Q₈	semidirect
253. Q₈	#446	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#557	2
#23258	2
#23153	2
#22722	2
Q₈×C₄⋊C₈	2
#22301	2
#21712	2
#21339	2
#20572	2
C₄×C₈×Q₈	2