Subgroups — C₂×#23356 #6407624

Order 512.

2794 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23356	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#1870	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1869	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1839	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#127	C₄	1	8	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#390	C₄	1	4	yes	—
21	C₂×#390	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#390	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1870	C₂²	1	32	yes	complemented
26	#1870	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#1869	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#1869	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#1839	C₂²	1	16	yes	complemented
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	4	8	no	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
42	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
43	C₂³×C₈	—	4	8	no	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂×#127	—	2	8	no	—
48	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
81	#390	C₂×C₄	1	32	yes	—
82	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
85	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
87	#336	C₂³	1	8	yes	—
88	#336	C₂³	1	16	yes	—
89	#336	C₂³	1	16	yes	—
90	#336	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
101	C₂²×D₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
102	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	32	no	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
138	#127	—	2	32	no	—
139	C₄×D₄	—	4	8	no	—
140	C₄×D₄	—	4	32	no	—
141	C₄×D₄	—	4	8	no	—
142	C₄×D₄	—	4	4	no	—
143	C₄×D₄	—	4	16	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	16	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	8	no	—
181	C₂⁴	—	2	8	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	8	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	8	no	—
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
189	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×D₄	—	2	32	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	32	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	16	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	16	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	64	no	—
202	C₂×D₄	—	4	16	no	—
203	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	complemented
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	M₁₆	—	4	32	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	4	32	no	—
256	C₂×C₈	—	4	16	no	—
257	C₂×C₈	—	4	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	8	no	—
267	C₄²	—	2	8	no	—
268	C₄²	—	2	16	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	8	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	16	no	—
276	C₂³	—	2	32	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	16	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	16	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	4	16	no	—
292	C₂³	#518	1	2	yes	—
293	C₂³	#518	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
295	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
297	C₂³	#568	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
299	D₄	—	4	16	no	—
300	D₄	—	4	64	no	—
301	D₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	16	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#560	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	#560	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#131	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
338	C₈	—	4	8	no	—
339	C₈	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	16	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	32	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	8	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	4	8	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	8	16	no	—
352	C₂²	#2380	1	4	yes	—
353	C₂²	#2973	1	4	yes	—
354	C₂²	#2974	1	8	yes	—
355	C₂²	#2979	1	4	yes	—
356	C₂²	#2981	1	8	yes	—
357	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂²×#131	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	8	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	#2380	1	4	yes	—
369	C₄	C₂×#560	1	2	yes	—
370	C₄	C₂×#560	1	2	yes	—
371	C₂	—	4	8	no	—
372	C₂	—	8	4	no	—
373	C₂	#23356	1	8	yes	direct product factor
374	C₂	C₂×#2380	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#2973	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#2974	1	2	yes	—
377	C₂	C₂×#2979	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₂×#2981	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#127	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23356	C₂	direct (N × H)
3. C₂×#1870	C₂	semidirect
4. C₂×#1870	C₂	semidirect
5. C₂×#1869	C₂	semidirect
6. C₂×#1869	C₂	semidirect
7. C₂×#1839	C₂	semidirect
25. #1870	C₂²	semidirect
26. #1870	C₂²	semidirect
27. #1869	C₂²	semidirect
28. #1869	C₂²	semidirect
29. #1839	C₂²	semidirect
101. C₂²×D₄	M₁₆	semidirect
203. C₂×D₄	C₂×M₁₆	semidirect
373. C₂	#23356	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
#23356	2
C₂×#1870	2
C₂×#1869	2
C₂×#1839	2

Subgroups — C2×#23356 #6407624

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#23356 #6407624