Subgroups — C₂×#23361 #6407632

Order 512.

2206 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23361	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#1904	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1903	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1887	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1884	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1841	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
13	#3151	C₄	1	8	yes	complemented
14	#3151	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#496	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×#493	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#492	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1904	C₂²	1	32	yes	complemented
24	#1903	C₂²	1	32	yes	complemented
25	#1887	C₂²	1	16	yes	complemented
26	#1884	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#1841	C₂²	1	16	yes	complemented
28	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	—	4	1	no	—
34	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
36	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
37	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
38	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
39	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
40	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	16	yes	—
41	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
43	#568	—	4	4	no	—
44	#568	—	4	2	no	—
45	#568	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂×#131	—	4	4	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	#532	—	4	1	no	—
51	#532	—	4	1	no	—
52	#532	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	#532	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
55	C₂×#127	—	4	1	no	—
56	C₂×#127	—	4	1	no	—
57	C₂×#127	—	4	1	no	—
58	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
62	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
64	C₂×#121	—	4	1	no	—
65	#518	—	4	2	no	—
66	#518	—	4	4	no	—
67	#518	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
70	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#496	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
74	#493	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
75	#492	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
76	#421	—	4	4	no	—
77	#421	C₂³	1	16	yes	—
78	C₂×#104	—	4	4	no	—
79	#418	—	4	4	no	—
80	#418	C₂³	1	16	yes	—
81	C₂×#102	—	4	4	no	—
82	C₂×#100	—	4	2	no	—
83	C₂×#100	—	4	2	no	—
84	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
85	#410	—	4	2	no	—
86	#410	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#99	—	4	2	no	—
88	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
89	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
92	#344	C₂³	1	16	yes	—
93	#339	C₂³	1	16	yes	—
94	#338	C₂³	1	8	yes	—
95	H(3,ℤ/4)	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂⁵	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
129	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
130	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
131	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×SD₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
135	C₂×D₈	—	4	8	no	—
136	C₂×D₈	—	4	8	no	—
137	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
138	#131	—	4	16	no	—
139	#131	—	4	16	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
157	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
158	#127	—	4	4	no	—
159	#127	—	4	2	no	—
160	#127	—	4	2	no	—
161	#127	—	4	4	no	—
162	#127	—	4	1	no	—
163	#127	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	#127	C₂²×C₄	1	8	yes	—
165	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
166	#124	—	4	2	no	—
167	#124	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
168	#121	—	4	4	no	—
169	#121	—	4	4	no	—
170	C₄×D₄	—	4	16	no	—
171	C₄×D₄	—	4	4	no	—
172	C₄×D₄	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	4	16	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
193	#104	—	4	16	no	—
194	#102	—	4	16	no	—
195	#100	—	4	8	no	—
196	#99	—	4	8	no	—
197	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
198	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
199	C₂⁴	—	2	2	no	—
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂⁴	—	4	2	no	—
205	C₂⁴	—	4	2	no	—
206	C₂⁴	—	4	2	no	—
207	C₂⁴	—	8	8	no	—
208	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	2	8	no	—
210	#41	—	2	8	no	—
211	#41	—	2	8	no	—
212	#41	—	2	8	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	4	no	—
215	#41	—	4	4	no	—
216	#41	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	8	no	—
228	C₂×D₄	—	2	8	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	8	no	—
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	8	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	8	no	—
248	C₂×D₄	—	8	16	no	—
249	C₂×D₄	—	8	16	no	—
250	C₂×D₄	—	8	8	no	—
251	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
252	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²×C₄	—	16	8	no	—
268	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
276	SD₁₆	—	4	32	no	—
277	D₈	—	4	32	no	—
278	M₁₆	—	2	8	no	—
279	M₁₆	—	2	8	no	—
280	M₁₆	—	2	8	no	—
281	M₁₆	—	2	8	no	—
282	M₁₆	—	4	16	no	—
283	M₁₆	—	4	4	no	—
284	M₁₆	—	4	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	4	16	no	—
289	C₂×C₈	—	4	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	1	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	8	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	2	8	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	4	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	—	8	8	no	—
319	C₂³	—	8	8	no	—
320	C₂³	—	8	4	no	—
321	C₂³	—	8	8	no	—
322	C₂³	—	8	8	no	—
323	C₂³	—	16	4	no	—
324	C₂³	—	16	4	no	—
325	C₂³	—	16	4	no	—
326	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	#560	1	2	yes	—
329	C₂³	#560	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	2	8	no	—
332	Q₈	—	4	4	no	—
333	D₄	—	2	8	no	—
334	D₄	—	2	16	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	4	8	no	—
339	D₄	—	4	4	no	—
340	D₄	—	4	8	no	—
341	D₄	—	8	8	no	—
342	D₄	—	8	16	no	—
343	D₄	—	8	16	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	8	8	no	—
359	C₂×C₄	—	16	16	no	—
360	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#560	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#560	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
372	C₈	—	2	8	no	—
373	C₈	—	4	8	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	4	8	no	—
381	C₂²	—	8	8	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	8	8	no	—
384	C₂²	—	8	8	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	8	no	—
387	C₂²	—	16	2	no	—
388	C₂²	—	16	4	no	—
389	C₂²	—	16	4	no	—
390	C₂²	—	16	4	no	—
391	C₂²	#2380	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2380	1	2	yes	—
393	C₂²	#2380	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂×#560	1	2	yes	—
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	4	4	no	—
399	C₄	—	8	8	no	—
400	C₄	#2380	1	2	yes	—
401	C₄	#2380	1	2	yes	—
402	C₄	C₂×#518	1	2	yes	—
403	C₄	C₂×#560	1	2	yes	—
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	8	8	no	—
409	C₂	—	8	4	no	—
410	C₂	#23361	1	2	yes	direct product factor
411	C₂	C₂×#2380	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2380
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3151	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23361	C₂	direct (N × H)
3. C₂×#1904	C₂	semidirect
4. C₂×#1903	C₂	semidirect
5. C₂×#1887	C₂	semidirect
6. C₂×#1884	C₂	semidirect
7. C₂×#1841	C₂	semidirect
13. #3151	C₄	semidirect
15. C₂×#496	C₄	semidirect
16. C₂×#493	C₄	semidirect
17. C₂×#492	C₄	semidirect
23. #1904	C₂²	semidirect
24. #1903	C₂²	semidirect
25. #1887	C₂²	semidirect
26. #1884	C₂²	semidirect
27. #1841	C₂²	semidirect
39. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect
41. C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
42. C₂²×D₈	C₂×C₄	semidirect
52. #532	C₂×C₄	semidirect
54. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
61. C₂×#127	C₂×C₄	semidirect
63. C₂×#124	C₂×C₄	semidirect
73. #496	C₂×C₄	semidirect
74. #493	C₂×C₄	semidirect
75. #492	C₂×C₄	semidirect
88. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
90. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
91. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
134. C₂×SD₁₆	C₂²×C₄	semidirect
137. C₂×D₈	C₂²×C₄	semidirect
157. C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	semidirect
165. #127	C₂²×C₄	semidirect
167. #124	C₂²×C₄	semidirect
197. #97	C₂²×C₄	semidirect
198. C₄×C₈	C₂²×C₄	semidirect
410. C₂	#23361	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3151	2
#23361	2
C₂×#1904	2
C₂×#1903	2
C₂×#1887	2
C₂×#1884	2
C₂×#1841	2

Subgroups — C2×#23361 #6407632

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#23361 #6407632