Subgroups — #6407637

Order 512.

2670 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 252 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23356	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
4	#23355	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20898	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	#20772	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	6	yes	—
10	C₂×#407	C₂²	1	12	yes	—
11	C₄×#127	C₄	1	6	yes	—
12	C₄×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#127	C₂²	1	6	yes	—
16	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#390	C₄	1	6	yes	—
18	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1870	C₂²	1	24	yes	complemented
21	#1870	C₂²	1	24	yes	complemented
22	#1869	C₂²	1	24	yes	complemented
23	#1869	C₂²	1	24	yes	complemented
24	#1839	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1839	C₂²	1	12	yes	complemented
26	#1728	C₂²	1	12	yes	—
27	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
29	C₂²×M₁₆	—	4	24	no	—
30	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
31	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
33	C₂×#127	—	2	8	no	—
34	C₂×#127	C₂×C₄	1	6	yes	—
35	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×D₄	—	4	12	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	4	12	no	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
50	#407	—	4	24	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
53	#390	C₂×C₄	1	24	yes	—
54	#390	C₂×C₄	1	6	yes	—
55	#390	C₂×C₄	1	6	yes	—
56	#390	C₂×C₄	1	6	yes	—
57	#390	C₂×C₄	1	6	yes	—
58	#384	C₂×C₄	1	6	yes	—
59	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₄³	C₂×C₄	1	3	yes	—
62	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
64	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#336	C₂³	1	24	yes	—
66	#336	C₂³	1	24	yes	—
67	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
69	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
70	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
71	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
74	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
76	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
85	C₂×M₁₆	—	4	24	no	—
86	C₂×M₁₆	—	4	64	no	—
87	C₂²×C₈	—	4	24	no	—
88	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
89	#127	—	2	24	no	—
90	#127	—	2	4	no	—
91	#127	M₁₆	1	8	yes	complemented
92	C₄×D₄	—	4	12	no	—
93	C₄×D₄	—	4	24	no	—
94	C₄×D₄	—	4	12	no	—
95	C₄×D₄	—	4	6	no	—
96	C₄×D₄	—	4	12	no	—
97	C₄×D₄	—	4	6	no	—
98	C₄×D₄	—	4	6	no	—
99	C₄×D₄	—	4	12	no	—
100	C₄×D₄	—	4	6	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
110	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
113	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
122	C₂²⋊C₈	—	4	24	no	—
123	C₂²⋊C₈	—	4	24	no	—
124	C₂⁴	—	2	8	no	—
125	C₂⁴	—	2	24	no	—
126	C₂⁴	—	4	12	no	—
127	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
128	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
129	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×D₄	—	2	24	no	—
131	C₂×D₄	—	2	12	no	—
132	C₂×D₄	—	2	24	no	—
133	C₂×D₄	—	4	6	no	—
134	C₂×D₄	—	4	12	no	—
135	C₂×D₄	—	4	6	no	—
136	C₂×D₄	—	4	6	no	—
137	C₂×D₄	—	4	6	no	—
138	C₂×D₄	—	4	96	no	—
139	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	24	yes	complemented
140	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
154	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
163	M₁₆	—	4	32	no	—
164	M₁₆	—	4	32	no	—
165	C₂×C₈	—	2	48	no	—
166	C₂×C₈	—	4	32	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
174	C₄²	—	2	6	no	—
175	C₄²	—	2	6	no	—
176	C₄²	—	2	6	no	—
177	C₄²	—	2	12	no	—
178	C₄²	—	2	6	no	—
179	C₄²	—	2	6	no	—
180	C₄²	—	4	3	no	—
181	C₄²	—	4	3	no	—
182	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	complemented
183	C₂³	—	2	1	no	—
184	C₂³	—	2	3	no	—
185	C₂³	—	2	12	no	—
186	C₂³	—	2	12	no	—
187	C₂³	—	2	12	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	2	12	no	—
190	C₂³	—	4	48	no	—
191	C₂³	—	4	16	no	—
192	C₂³	—	8	24	no	—
193	C₂³	#518	1	6	yes	—
194	C₂³	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
195	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
196	D₄	—	4	24	no	—
197	D₄	—	4	48	no	—
198	D₄	—	4	24	no	—
199	C₂×C₄	—	2	24	no	—
200	C₂×C₄	—	2	3	no	—
201	C₂×C₄	—	2	3	no	—
202	C₂×C₄	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄	—	2	3	no	—
205	C₂×C₄	—	2	3	no	—
206	C₂×C₄	—	2	12	no	—
207	C₂×C₄	—	2	12	no	—
208	C₂×C₄	—	2	6	no	—
209	C₂×C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₄	—	4	12	no	—
211	C₂×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂×C₄	—	4	16	no	—
214	C₂×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂×C₄	—	4	12	no	—
217	C₂×C₄	—	4	12	no	—
218	C₂×C₄	#518	1	6	yes	—
219	C₂×C₄	#560	1	16	yes	—
220	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	6	yes	—
221	C₂×C₄	#568	1	6	yes	—
222	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
223	C₈	—	4	16	no	—
224	C₂²	—	2	6	no	—
225	C₂²	—	2	6	no	—
226	C₂²	—	2	24	no	—
227	C₂²	—	4	4	no	—
228	C₂²	—	4	12	no	—
229	C₂²	—	4	4	no	—
230	C₂²	—	4	12	no	—
231	C₂²	—	4	12	no	—
232	C₂²	—	8	32	no	—
233	C₂²	#2380	1	4	yes	—
234	C₂²	C₂×#518	1	3	yes	—
235	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	C₂×#568	1	3	yes	—
237	C₄	—	2	6	no	—
238	C₄	—	2	6	no	—
239	C₄	—	4	4	no	—
240	C₄	—	4	4	no	—
241	C₄	—	4	3	no	—
242	C₄	—	4	3	no	—
243	C₄	#2380	1	4	yes	—
244	C₄	C₂×#560	1	4	yes	—
245	C₂	—	2	4	no	—
246	C₂	—	4	8	no	—
247	C₂	—	8	4	no	—
248	C₂	C₂×#2380	1	1	yes	characteristic
249	C₂	#60230	1	3	yes	—
250	C₂	#60232	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#127	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23357	C₂	semidirect
3. #23356	C₂	semidirect
4. #23355	C₂	semidirect
5. #20898	C₂	semidirect
6. #20772	C₂	semidirect
20. #1870	C₂²	semidirect
21. #1870	C₂²	semidirect
22. #1869	C₂²	semidirect
23. #1869	C₂²	semidirect
24. #1839	C₂²	semidirect
25. #1839	C₂²	semidirect
91. #127	M₁₆	semidirect
139. C₂×D₄	C₂×M₁₆	semidirect
182. C₄²	C₂×M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
#23357	2
#23356	2
#23355	2
#20898	2
#20772	2