Subgroups — #6408546

Order 512.

2666 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 341 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23355	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#23173	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	D₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22260	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21738	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20777	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	16	yes	complemented
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
13	C₄×#127	C₄	1	2	yes	—
14	C₄×#127	C₄	1	4	yes	—
15	C₄×#127	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#390	C₄	1	4	yes	—
21	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1954	C₂²	1	16	yes	complemented
24	#1869	C₂²	1	32	yes	complemented
25	#1869	C₂²	1	16	yes	complemented
26	#1869	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#1839	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1831	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1817	C₂²	1	4	yes	—
30	#1797	C₂²	1	4	yes	—
31	#1779	C₂²	1	8	yes	—
32	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
34	#1744	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	16	yes	—
39	C₂×#127	C₈	1	16	yes	complemented
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	—	4	16	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₈×D₄	—	4	32	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
69	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
83	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#336	C₂³	1	8	yes	—
86	#336	C₂³	1	8	yes	—
87	#336	C₂³	1	8	yes	—
88	#336	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
91	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
92	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
94	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	32	yes	complemented
95	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
96	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
98	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	32	no	—
112	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
113	#127	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
114	#127	C₂×C₈	1	32	yes	complemented
115	#127	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
116	C₄×D₄	—	2	32	no	—
117	C₄×D₄	—	4	16	no	—
118	C₄×D₄	—	4	16	no	—
119	C₄×D₄	—	4	8	no	—
120	C₄×D₄	—	4	8	no	—
121	C₄×D₄	—	4	4	no	—
122	C₄×D₄	—	4	8	no	—
123	C₄×D₄	—	4	16	no	—
124	C₄×D₄	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
164	C₄×C₈	—	2	16	no	—
165	C₂⁴	—	2	8	no	—
166	C₂⁴	—	2	8	no	—
167	C₂⁴	—	4	8	no	—
168	C₂⁴	—	4	8	no	—
169	C₂⁴	C₂²×C₈	1	16	yes	—
170	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
171	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×D₄	—	2	16	no	—
173	C₂×D₄	—	2	16	no	—
174	C₂×D₄	—	4	64	no	—
175	C₂×D₄	—	4	8	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	32	no	—
179	C₂×D₄	—	4	8	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	32	yes	—
183	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	32	yes	—
184	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
185	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
204	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	—	2	16	no	—
219	C₂×C₈	—	2	16	no	—
220	C₂×C₈	—	2	16	no	—
221	C₂×C₈	—	8	32	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₄²	—	2	4	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	4	2	no	—
240	C₄²	—	4	1	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	4	1	no	—
244	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
245	C₄²	C₂²×C₈	1	8	yes	—
246	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
247	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	16	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	16	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	32	no	—
255	C₂³	—	4	32	no	—
256	C₂³	—	8	8	no	—
257	C₂³	—	8	8	no	—
258	C₂³	—	8	16	no	—
259	C₂³	#518	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂³×C₈	1	16	yes	—
261	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
262	C₂³	#568	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
264	D₄	—	2	64	no	—
265	D₄	—	4	32	no	—
266	D₄	—	4	16	no	—
267	D₄	—	4	16	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	16	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	16	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	16	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	8	16	no	—
294	C₂×C₄	—	8	8	no	—
295	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
305	C₈	—	4	16	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	32	no	—
311	C₂²	—	2	16	no	—
312	C₂²	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	4	8	no	—
314	C₂²	—	4	16	no	—
315	C₂²	—	8	32	no	—
316	C₂²	#2972	1	4	yes	—
317	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂⁴×C₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
322	C₄	—	2	2	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	4	no	—
326	C₄	—	2	4	no	—
327	C₄	—	4	8	no	—
328	C₄	—	4	1	no	—
329	C₄	—	4	1	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	#2972	1	8	yes	—
332	C₄	#3543	1	4	yes	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	—	4	16	no	—
335	C₂	#34364	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂×#2972	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂×#2972	1	2	yes	—
338	C₂	#60232	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#60237	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₈
socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#127	C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23355	C₂	semidirect
3. #23173	C₂	semidirect
4. D₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
5. #22260	C₂	semidirect
6. #21738	C₂	semidirect
7. #20777	C₂	semidirect
11. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
23. #1954	C₂²	semidirect
24. #1869	C₂²	semidirect
25. #1869	C₂²	semidirect
26. #1869	C₂²	semidirect
27. #1839	C₂²	semidirect
28. #1831	C₂²	semidirect
32. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
34. #1744	C₂²	semidirect
39. C₂×#127	C₈	semidirect
94. C₂²×D₄	C₂×C₈	semidirect
95. C₂²×D₄	C₂×C₈	semidirect
113. #127	C₂×C₈	semidirect
114. #127	C₂×C₈	semidirect
115. #127	C₂×C₈	semidirect
141. C₂×C₄²	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
#23355	2
#23173	2
D₄×C₂²⋊C₈	2
#22260	2
#21738	2
#20777	2