Subgroups — #6408580

Order 512.

1642 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23365	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#23249	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#22601	C₂	1	8	yes	maximal
5	#22315	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21822	C₂	1	2	yes	maximal
7	#21818	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20778	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#431	C₂²	1	4	yes	—
14	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
15	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#389	C₄	1	4	yes	—
23	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1985	C₂²	1	8	yes	—
27	#1985	C₂²	1	8	yes	—
28	#1984	C₂²	1	8	yes	—
29	#1984	C₂²	1	8	yes	—
30	#1940	C₂²	1	16	yes	—
31	#1917	C₂²	1	16	yes	—
32	#1916	C₂²	1	16	yes	—
33	#1839	C₂²	1	4	yes	—
34	#1831	C₂²	1	4	yes	—
35	#1817	C₂²	1	4	yes	—
36	#1817	C₂²	1	4	yes	—
37	#1817	C₂²	1	4	yes	—
38	#1797	C₂²	1	4	yes	—
39	#1771	C₂²	1	16	yes	—
40	#1767	C₂²	1	4	yes	—
41	#1749	C₂²	1	4	yes	—
42	#1745	C₂²	1	4	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	#432	—	4	8	no	—
73	#431	—	4	8	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
81	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
89	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
104	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#336	C₂³	1	8	yes	—
107	#336	C₂³	1	8	yes	—
108	#336	C₂³	1	8	yes	—
109	#336	C₂³	1	16	yes	—
110	#336	C₂³	1	16	yes	—
111	#336	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
117	C₂²×Q₈	M₁₆	1	8	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
139	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
194	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
196	#97	—	2	16	no	—
197	#97	—	4	8	no	—
198	C₄×C₈	—	4	8	no	—
199	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
200	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
201	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
202	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
203	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
216	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
217	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	—	2	16	no	—
256	C₂×C₈	—	2	16	no	—
257	C₂×C₈	—	2	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄²	—	2	8	no	—
271	C₄²	—	2	8	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	4	2	no	—
289	C₄²	—	4	2	no	—
290	C₄²	—	4	1	no	—
291	C₄²	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	4	1	no	—
293	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	#518	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
298	C₂³	#568	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	4	8	no	—
301	Q₈	—	4	8	no	—
302	Q₈	—	4	8	no	—
303	Q₈	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
349	C₈	—	4	16	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	#2973	1	4	yes	—
355	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	8	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	1	no	—
369	C₄	—	4	1	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	#3544	1	4	yes	—
374	C₂	—	2	4	no	—
375	C₂	#34365	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#2973	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#60232	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#60248	1	2	yes	—
379	C₂	#60251	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23365	C₂	semidirect
3. #23249	C₂	semidirect
5. #22315	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
#23365	2
#23249	2
#22601	2
#22315	2
#21822	2
#21818	2
#20778	2