Subgroups — #6408582

Order 512.

1642 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23366	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#23249	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#22601	C₂	1	8	yes	maximal
6	#22313	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21820	C₂	1	4	yes	maximal
8	#20778	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#431	C₂²	1	4	yes	—
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
14	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
16	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#391	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×#389	C₄	1	4	yes	—
23	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1985	C₂²	1	8	yes	—
27	#1985	C₂²	1	8	yes	—
28	#1984	C₂²	1	8	yes	—
29	#1984	C₂²	1	8	yes	—
30	#1940	C₂²	1	16	yes	—
31	#1917	C₂²	1	16	yes	—
32	#1916	C₂²	1	16	yes	—
33	#1839	C₂²	1	4	yes	—
34	#1831	C₂²	1	4	yes	—
35	#1817	C₂²	1	4	yes	—
36	#1817	C₂²	1	8	yes	—
37	#1797	C₂²	1	4	yes	—
38	#1771	C₂²	1	16	yes	—
39	#1767	C₂²	1	4	yes	—
40	#1749	C₂²	1	4	yes	—
41	#1745	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
66	#432	—	4	8	no	—
67	#431	—	4	8	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
75	#391	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
97	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#336	C₂³	1	8	yes	—
104	#336	C₂³	1	8	yes	—
105	#336	C₂³	1	8	yes	—
106	#336	C₂³	1	16	yes	—
107	#336	C₂³	1	16	yes	—
108	#336	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	M₁₆	1	8	yes	—
127	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
128	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
129	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
130	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
131	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
186	#97	—	2	16	no	—
187	#97	—	4	8	no	—
188	C₄×C₈	—	4	8	no	—
189	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
190	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
191	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
192	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
193	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
203	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	—	2	16	no	—
237	C₂×C₈	—	2	16	no	—
238	C₂×C₈	—	2	16	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	2	8	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	4	1	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	1	no	—
274	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
275	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	#518	1	2	yes	—
280	C₂³	#568	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	4	8	no	—
283	Q₈	—	4	16	no	—
284	Q₈	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	16	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
328	C₈	—	4	16	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	#2980	1	4	yes	—
334	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	2	8	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	4	1	no	—
347	C₄	—	4	1	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	4	4	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	#3544	1	4	yes	—
353	C₂	—	2	4	no	—
354	C₂	#34365	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂×#2980	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#60230	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#60248	1	2	yes	—
358	C₂	#60251	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23366	C₂	semidirect
3. #23363	C₂	semidirect
4. #23249	C₂	semidirect
6. #22313	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
#23366	2
#23363	2
#23249	2
#22601	2
#22313	2
#21820	2
#20778	2