Subgroups — #6408606

Order 512.

1826 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23352	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#23273	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#22554	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22395	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21738	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20778	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₄×#124	C₄	1	2	yes	—
15	C₄×#124	C₄	1	4	yes	—
16	C₄×#124	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#124	C₂²	1	4	yes	—
19	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#390	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#388	C₄	1	4	yes	—
23	C₂×#382	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1985	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#1985	C₂²	1	8	yes	complemented
28	#1924	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#1924	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#1869	C₂²	1	8	yes	—
31	#1869	C₂²	1	8	yes	—
32	#1850	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#1839	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1831	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1817	C₂²	1	4	yes	—
36	#1817	C₂²	1	4	yes	—
37	#1797	C₂²	1	4	yes	—
38	#1779	C₂²	1	4	yes	—
39	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#1752	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1749	C₂²	1	4	yes	—
42	#1745	C₂²	1	4	yes	complemented
43	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂×#124	—	2	8	no	—
48	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
73	#432	—	4	8	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
82	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#388	C₂×C₄	1	8	yes	—
89	#388	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	#388	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	#388	C₂×C₄	1	8	yes	—
92	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#336	C₂³	1	8	yes	—
108	#336	C₂³	1	8	yes	—
109	#336	C₂³	1	8	yes	—
110	#336	C₂³	1	16	yes	—
111	#336	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
120	C₂²×D₄	M₁₆	1	8	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
138	#124	—	2	8	no	—
139	#124	—	2	16	no	—
140	#124	—	2	8	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
145	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	C₄×D₄	—	4	2	no	—
149	C₄×D₄	—	4	4	no	—
150	C₄×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
196	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
200	#97	—	4	8	no	—
201	#97	—	4	8	no	—
202	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
203	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
204	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
205	#95	C₂²×C₄	1	8	yes	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	—	4	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	4	no	—
210	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
211	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
212	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	16	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
226	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	—	2	16	no	—
267	C₂×C₈	—	2	16	no	—
268	C₂×C₈	—	2	16	no	—
269	C₂×C₈	—	8	16	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	8	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	4	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	4	1	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	8	no	—
307	C₂³	—	2	8	no	—
308	C₂³	—	2	4	no	—
309	C₂³	—	2	16	no	—
310	C₂³	—	4	16	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	8	4	no	—
313	C₂³	—	8	8	no	—
314	C₂³	#518	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
316	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
317	C₂³	#568	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	4	8	no	—
320	Q₈	—	4	8	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	8	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	8	8	no	—
359	C₂×C₄	—	8	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	4	no	—
361	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
367	C₈	—	4	16	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	8	no	—
373	C₂²	—	2	16	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	8	16	no	—
378	C₂²	#2973	1	4	yes	—
379	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#3428	1	2	yes	—
381	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#568	1	2	yes	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₄	—	4	1	no	—
391	C₄	—	4	1	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	4	2	no	—
396	C₄	#3545	1	4	yes	—
397	C₂	—	2	4	no	—
398	C₂	—	4	8	no	—
399	C₂	#34366	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#2973	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#60232	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#60282	1	2	yes	—
403	C₂	#60291	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23352	C₂	semidirect
3. #23273	C₂	semidirect
4. #22554	C₂	semidirect
5. #22395	C₂	semidirect
6. #21822	C₂	semidirect
8. #20778	C₂	semidirect
26. #1985	C₂²	semidirect
27. #1985	C₂²	semidirect
28. #1924	C₂²	semidirect
29. #1924	C₂²	semidirect
32. #1850	C₂²	semidirect
33. #1839	C₂²	semidirect
34. #1831	C₂²	semidirect
39. #1767	C₂²	semidirect
40. #1752	C₂²	semidirect
42. #1745	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#124	2
#23352	2
#23273	2
#22554	2
#22395	2
#21822	2
#21738	2
#20778	2