Subgroups — #641082

Order 512.

3784 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2503	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2501	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂²×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#17064	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#15244	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#15199	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#15069	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#14354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#14273	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#13753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#123	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2850	—	2	8	no	—
20	#2503	—	2	16	no	—
21	#2501	—	2	16	no	—
22	C₂×#400	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#399	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#388	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#386	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#384	—	2	8	no	—
31	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#381	C₂²	1	8	yes	—
38	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
40	#1444	C₂²	1	16	yes	—
41	#1444	C₂²	1	16	yes	—
42	#1439	C₂²	1	16	yes	—
43	#1439	C₂²	1	16	yes	—
44	#1434	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
46	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#124	—	2	4	no	—
54	C₂×#124	—	2	8	no	—
55	C₂×#123	—	2	32	no	—
56	C₂×#123	—	4	32	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
59	C₂×#121	—	2	4	no	—
60	C₂×#121	—	2	8	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
80	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
81	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#400	—	2	32	no	—
87	#399	—	2	32	no	—
88	#391	—	2	4	no	—
89	#391	—	2	16	no	—
90	#390	—	2	4	no	—
91	#390	—	2	16	no	—
92	#388	—	2	16	no	—
93	#386	—	2	16	no	—
94	#384	—	2	16	no	—
95	#384	—	2	16	no	—
96	#384	—	2	8	no	—
97	#384	—	2	8	no	—
98	#382	—	2	4	no	—
99	#382	—	2	16	no	—
100	#381	—	2	32	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
102	#376	—	2	8	no	—
103	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
104	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
105	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
111	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	#124	—	4	16	no	—
145	#123	—	4	128	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
147	#121	—	4	16	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
180	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
190	#95	—	2	32	no	—
191	#95	—	2	32	no	—
192	#95	—	2	8	no	—
193	#95	—	2	8	no	—
194	#95	—	2	16	no	—
195	#95	—	2	16	no	—
196	#95	C₂×D₄	1	16	yes	—
197	C₂⁴	—	2	2	no	—
198	C₂⁴	—	2	2	no	—
199	C₂⁴	—	2	4	no	—
200	C₂⁴	—	2	2	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	—	2	8	no	—
204	C₂⁴	—	2	8	no	—
205	C₂⁴	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
207	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
209	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	32	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
256	C₂²×C₄	#127	1	16	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
267	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
282	C₄²	—	2	16	no	—
283	C₄²	—	2	8	no	—
284	C₄²	—	2	32	no	—
285	C₄²	#123	1	16	yes	complemented
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	2	16	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	16	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	8	no	—
300	C₂³	—	4	16	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	4	16	no	—
303	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
304	C₂³	#535	1	16	yes	—
305	C₂³	#535	1	8	yes	—
306	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
308	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
312	Q₈	—	8	8	no	—
313	D₄	—	8	16	no	—
314	D₄	—	8	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	64	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	16	no	—
324	C₂×C₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	32	no	—
326	C₂×C₄	—	2	16	no	—
327	C₂×C₄	—	2	16	no	—
328	C₂×C₄	—	2	16	no	—
329	C₂×C₄	—	4	16	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	16	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	16	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	8	32	no	—
346	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
351	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#547	1	16	yes	—
353	C₂²	—	2	8	no	—
354	C₂²	—	2	8	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	32	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	2	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	—	8	16	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	#2657	1	8	yes	—
365	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
368	C₂²	C₂×#535	1	4	yes	—
369	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂×#547	1	4	yes	—
372	C₂²	#3492	1	8	yes	—
373	C₂²	#3499	1	4	yes	—
374	C₂²	#3544	1	8	yes	—
375	C₄	—	2	8	no	—
376	C₄	—	2	8	no	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	4	16	no	—
379	C₄	—	8	8	no	—
380	C₄	—	8	2	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	#2501	1	8	yes	—
384	C₂	—	2	8	no	—
385	C₂	—	16	2	no	—
386	C₂	C₂×#2657	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×#2501	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#35227	1	2	yes	—
389	C₂	#35317	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#37632	1	2	yes	—
391	C₂	#37863	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2503	C₂	semidirect
4. C₂²×#384	C₂	semidirect
5. #17064	C₂	semidirect
6. #15244	C₂	semidirect
7. #15199	C₂	semidirect
8. #15069	C₂	semidirect
9. #14354	C₂	semidirect
10. #14273	C₂	semidirect
11. #13753	C₂	semidirect
285. C₄²	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2850	2
C₂×#2503	2
C₂×#2501	2
C₂²×#384	2
#17064	2
#15244	2
#15199	2
#15069	2
#14354	2
#14273	2
#13753	2