Subgroups — #6431813

Order 512.

4470 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#418	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#23456	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#23454	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#20347	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	#3458	—	2	16	no	—
11	C₂×#544	—	2	2	no	—
12	C₂×#544	C₂²	1	8	yes	complemented
13	C₂×#543	—	2	2	no	—
14	C₂×#533	—	2	4	no	—
15	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#418	—	2	16	no	—
20	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
23	#2309	—	2	4	no	—
24	#2309	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#390	—	2	2	no	—
26	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#379	—	2	2	no	—
28	#2025	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#2023	C₂²	1	32	yes	complemented
30	#1736	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#1736	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1735	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1729	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1728	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂⁶	—	2	1	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂³×D₄	Q₈	1	8	yes	complemented
42	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
51	#544	—	2	32	no	—
52	#544	—	2	32	no	—
53	#544	—	2	32	no	—
54	#543	—	2	32	no	—
55	#533	—	2	64	no	—
56	#533	—	2	32	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	complemented
59	C₂×#125	—	2	8	no	—
60	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	complemented
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
64	C₂×#117	—	2	2	no	—
65	C₂×#117	—	2	2	no	—
66	C₂×#117	—	2	8	no	—
67	C₂×#117	—	2	8	no	—
68	C₂×#117	—	2	2	no	—
69	C₂×#117	—	2	8	no	—
70	C₂×#117	D₄	1	16	yes	—
71	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	#418	—	2	32	no	—
87	#418	—	2	32	no	—
88	C₂×#102	—	2	32	no	—
89	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
90	#390	—	2	16	no	—
91	#390	—	2	8	no	—
92	#390	C₂³	1	16	yes	—
93	#379	—	2	16	no	—
94	#340	C₂³	1	32	yes	complemented
95	#336	C₂³	1	16	yes	complemented
96	C₂⁵	—	2	2	no	—
97	C₂⁵	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	—	2	4	no	—
99	C₂⁵	—	4	4	no	—
100	C₂⁵	—	4	4	no	—
101	C₂⁵	—	8	8	no	—
102	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
122	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
124	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
149	#125	—	2	64	no	—
150	#125	—	2	32	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
154	#117	—	2	16	no	—
155	#117	—	2	16	no	—
156	#117	—	2	16	no	—
157	#117	—	2	8	no	—
158	#117	—	2	8	no	—
159	#117	—	2	8	no	—
160	#117	—	2	8	no	—
161	#117	—	2	8	no	—
162	#117	—	2	8	no	—
163	#117	—	4	8	no	—
164	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
165	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
186	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
194	#102	—	2	64	no	—
195	C₂⁴	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	—	2	16	no	—
198	C₂⁴	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	16	no	—
200	C₂⁴	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	—	4	8	no	—
202	C₂⁴	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	8	no	—
204	C₂⁴	—	4	32	no	—
205	C₂⁴	—	8	16	no	—
206	C₂⁴	—	8	32	no	—
207	C₂⁴	—	8	32	no	—
208	C₂⁴	—	8	32	no	—
209	C₂⁴	#120	1	4	yes	—
210	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
211	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
212	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
215	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
216	C₂×D₄	—	2	32	no	—
217	C₂×D₄	—	2	32	no	—
218	C₂×D₄	—	2	32	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	16	no	—
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	8	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	16	no	—
229	C₂×D₄	—	4	16	no	—
230	C₂×D₄	—	4	16	no	—
231	C₂×D₄	—	4	64	no	—
232	C₂×D₄	—	4	32	no	—
233	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
242	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	#124	1	32	yes	—
248	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
264	M₁₆	—	4	16	no	—
265	M₁₆	—	4	16	no	—
266	C₂×C₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	4	16	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
283	C₄²	—	2	16	no	—
284	C₄²	—	2	16	no	—
285	C₄²	—	2	8	no	—
286	C₄²	—	2	8	no	—
287	C₄²	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	—	4	32	no	—
295	C₂³	—	4	16	no	—
296	C₂³	—	4	16	no	—
297	C₂³	—	4	32	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	8	32	no	—
301	C₂³	—	8	16	no	—
302	C₂³	—	8	16	no	—
303	C₂³	—	8	32	no	—
304	C₂³	—	8	32	no	—
305	C₂³	—	8	128	no	—
306	C₂³	#393	1	16	yes	—
307	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
308	C₂³	C₂×#120	1	4	yes	—
309	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
311	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
312	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
314	Q₈	—	8	32	no	—
315	D₄	—	2	16	no	—
316	D₄	—	4	16	no	—
317	D₄	—	4	32	no	—
318	D₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	16	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	16	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	8	no	—
326	C₂×C₄	—	8	16	no	—
327	C₂×C₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	#393	1	32	yes	—
329	C₂×C₄	#393	1	16	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
342	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
346	C₈	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	8	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	8	no	—
353	C₂²	—	4	16	no	—
354	C₂²	—	4	16	no	—
355	C₂²	—	4	8	no	—
356	C₂²	—	8	32	no	—
357	C₂²	—	8	64	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	—	8	8	no	—
360	C₂²	C₂×#393	1	8	yes	—
361	C₂²	C₂×#393	1	4	yes	—
362	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3585	1	4	yes	—
366	C₄	—	4	8	no	—
367	C₄	—	4	16	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	C₂×#393	1	4	yes	—
370	C₄	C₂×#393	1	8	yes	—
371	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
372	C₄	C₂²×#124	1	2	yes	—
373	C₂	—	2	4	no	—
374	C₂	—	2	8	no	—
375	C₂	—	8	8	no	—
376	C₂	C₂²×#393	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#60369	1	2	yes	—
378	C₂	#60490	1	2	yes	—
379	C₂	#60619	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3458	C₂	semidirect
4. #23456	C₂	semidirect
5. #23454	C₂	semidirect
6. #20347	C₂	semidirect
7. #20335	C₂	semidirect
12. C₂×#544	C₂²	semidirect
15. C₂×#533	C₂²	semidirect
28. #2025	C₂²	semidirect
29. #2023	C₂²	semidirect
30. #1736	C₂²	semidirect
31. #1736	C₂²	semidirect
32. #1735	C₂²	semidirect
33. #1729	C₂²	semidirect
34. #1728	C₂²	semidirect
41. C₂³×D₄	Q₈	semidirect
58. C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
60. C₂×#125	C₂³	semidirect
94. #340	C₂³	semidirect
95. #336	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3458	2
C₂²×#418	2
C₂×#2309	2
#23456	2
#23454	2
#20347	2
#20335	2