Subgroups — #6431828

Order 512.

3929 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#60087	C₂	1	2	yes	maximal
3	#34258	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#23463	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#23462	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#23461	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	C₂×#2027	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#20358	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
12	#3504	—	2	8	no	—
13	#3503	—	2	8	no	—
14	#3502	—	2	2	no	—
15	#3501	—	2	6	no	—
16	#3458	C₂²	1	6	yes	complemented
17	C₂×#544	C₂²	1	6	yes	complemented
18	#3428	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2897	—	2	8	no	—
22	#2897	—	2	8	no	—
23	#2896	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	12	yes	—
25	#2341	—	2	2	no	—
26	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
27	#2311	C₂²	1	3	yes	—
28	#2309	C₂²	1	3	yes	—
29	#2297	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂×#390	C₂²	1	3	yes	—
31	#2028	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#2028	C₂²	1	12	yes	complemented
33	#2027	C₂²	1	12	yes	complemented
34	#2027	C₂²	1	24	yes	complemented
35	#2027	C₂²	1	12	yes	complemented
36	#1742	C₂²	1	6	yes	complemented
37	C₂×#343	C₂²	1	6	yes	complemented
38	#1733	C₂²	1	12	yes	complemented
39	C₂×#339	C₂²	1	12	yes	complemented
40	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
41	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
42	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
43	C₂×H(5,𝔽₂)	Q₈	1	8	yes	complemented
44	C₂²×#41	—	2	1	no	—
45	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
49	#568	—	2	8	no	—
50	#568	—	2	8	no	—
51	C₂×#131	—	2	8	no	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
53	Q₈²	—	2	8	no	—
54	#557	—	2	16	no	—
55	#557	—	2	8	no	—
56	#554	—	2	48	no	—
57	#554	—	2	24	no	—
58	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
59	#544	—	2	24	no	—
60	#544	—	2	12	no	—
61	#544	—	2	12	no	—
62	#544	—	2	12	no	—
63	#544	C₂³	1	12	yes	—
64	#544	C₂³	1	4	yes	—
65	#543	—	2	12	no	—
66	#533	—	2	24	no	—
67	#533	—	2	12	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
69	C₂×#125	—	2	12	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
71	#520	—	2	8	no	—
72	#520	D₄	1	8	yes	—
73	#520	D₄	1	8	yes	—
74	#519	—	2	2	no	—
75	#518	—	2	6	no	—
76	C₄×#41	—	2	8	no	—
77	C₄×#41	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
81	C₂×C₄×D₄	D₄	1	6	yes	—
82	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
83	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
88	#419	C₂³	1	8	yes	—
89	#418	—	2	24	no	—
90	#418	C₂³	1	24	yes	—
91	#417	—	2	12	no	—
92	#417	—	2	12	no	—
93	#416	—	2	24	no	—
94	C₂×#102	—	2	12	no	—
95	C₂×#102	—	2	12	no	—
96	#391	C₂³	1	3	yes	—
97	#391	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#390	—	2	6	no	—
99	#390	—	2	6	no	—
100	#390	C₂³	1	3	yes	—
101	#390	C₂³	1	6	yes	—
102	#390	C₂³	1	3	yes	—
103	#386	—	2	6	no	—
104	#386	—	2	6	no	—
105	#380	—	2	6	no	—
106	#379	—	2	6	no	—
107	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
108	#343	C₂³	1	12	yes	—
109	#343	C₂³	1	4	yes	—
110	#339	C₂³	1	8	yes	—
111	#339	C₂³	1	24	yes	—
112	C₂⁵	—	2	3	no	—
113	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
114	H(5,𝔽₂)	—	4	32	no	—
115	C₂×#41	—	2	8	no	—
116	C₂×#41	—	2	6	no	—
117	C₂×#41	—	2	12	no	—
118	C₂×#41	—	2	12	no	—
119	C₂×#41	—	4	4	no	—
120	C₂×#41	—	4	4	no	—
121	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
122	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂×#41	C₂×Q₈	1	12	yes	complemented
124	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
125	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
126	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
137	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	12	yes	complemented
139	C₂²×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
140	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
144	#131	—	4	32	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
155	#125	—	2	48	no	—
156	#125	—	2	24	no	—
157	#125	—	2	24	no	—
158	#125	—	2	8	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
169	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	24	no	—
171	C₄×D₄	—	2	24	no	—
172	C₄×D₄	—	2	24	no	—
173	C₄×D₄	—	4	12	no	—
174	#117	—	2	12	no	—
175	#117	—	2	12	no	—
176	#117	—	2	12	no	—
177	#117	—	2	12	no	—
178	#117	C₂×D₄	1	24	yes	—
179	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
196	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	#103	—	2	8	no	—
203	#103	—	2	8	no	—
204	#102	—	2	24	no	—
205	#102	—	2	24	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	—	2	6	no	—
208	C₂⁴	—	2	3	no	—
209	C₂⁴	—	2	12	no	—
210	C₂⁴	—	4	6	no	—
211	C₂⁴	—	4	6	no	—
212	C₂⁴	—	8	6	no	—
213	C₂⁴	—	8	6	no	—
214	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
215	#41	—	2	48	no	—
216	#41	—	4	32	no	—
217	#41	—	4	24	no	—
218	#41	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
219	#41	#124	1	32	yes	—
220	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	16	12	no	—
226	C₂×Q₈	#120	1	4	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
228	C₂×Q₈	#124	1	4	yes	—
229	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
230	C₂×D₄	—	2	12	no	—
231	C₂×D₄	—	2	48	no	—
232	C₂×D₄	—	2	12	no	—
233	C₂×D₄	—	2	6	no	—
234	C₂×D₄	—	2	6	no	—
235	C₂×D₄	—	2	3	no	—
236	C₂×D₄	—	4	6	no	—
237	C₂×D₄	—	4	6	no	—
238	C₂×D₄	—	4	96	no	—
239	C₂×D₄	—	4	6	no	—
240	C₂×D₄	—	4	6	no	—
241	C₂×D₄	—	4	24	no	—
242	C₂×D₄	#120	1	12	yes	—
243	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
244	C₂×D₄	#124	1	12	yes	—
245	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
257	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
258	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
267	M₁₆	—	2	8	no	—
268	M₁₆	—	2	8	no	—
269	M₁₆	—	4	24	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	4	24	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
282	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
291	C₄²	—	2	24	no	—
292	C₄²	—	2	12	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	6	no	—
296	C₄²	—	4	6	no	—
297	C₂³	—	2	6	no	—
298	C₂³	—	4	3	no	—
299	C₂³	—	4	3	no	—
300	C₂³	—	4	6	no	—
301	C₂³	—	4	6	no	—
302	C₂³	—	4	3	no	—
303	C₂³	—	4	3	no	—
304	C₂³	—	4	24	no	—
305	C₂³	—	8	24	no	—
306	C₂³	—	16	6	no	—
307	C₂³	—	16	6	no	—
308	C₂³	—	16	12	no	—
309	C₂³	C₂×#120	1	6	yes	—
310	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
311	C₂³	C₂×#124	1	6	yes	—
312	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	2	4	no	—
314	Q₈	—	4	2	no	—
315	Q₈	—	8	8	no	—
316	Q₈	—	8	24	no	—
317	Q₈	#393	1	16	yes	—
318	D₄	—	2	12	no	—
319	D₄	—	4	24	no	—
320	D₄	—	4	24	no	—
321	D₄	—	4	6	no	—
322	D₄	#393	1	48	yes	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	6	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	24	no	—
334	C₂×C₄	—	4	6	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	3	no	—
337	C₂×C₄	—	4	3	no	—
338	C₂×C₄	—	4	3	no	—
339	C₂×C₄	—	8	12	no	—
340	C₂×C₄	—	8	12	no	—
341	C₂×C₄	—	8	12	no	—
342	C₂×C₄	—	8	12	no	—
343	C₂×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#124	1	6	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#124	1	24	yes	—
348	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
352	C₈	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	6	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	6	no	—
357	C₂²	—	4	6	no	—
358	C₂²	—	4	6	no	—
359	C₂²	—	4	12	no	—
360	C₂²	—	4	6	no	—
361	C₂²	—	8	6	no	—
362	C₂²	—	8	3	no	—
363	C₂²	—	8	3	no	—
364	C₂²	—	16	24	no	—
365	C₂²	C₂×#393	1	12	yes	—
366	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	6	no	—
372	C₄	—	4	8	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	8	no	—
375	C₄	—	8	3	no	—
376	C₄	C₂×#393	1	12	yes	—
377	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
378	C₄	C₂²×#124	1	2	yes	—
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	2	1	no	—
381	C₂	—	2	12	no	—
382	C₂	—	8	6	no	—
383	C₂	C₂²×#393	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#60388	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#60390	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #62854	C₂	semidirect
4. #23463	C₂	semidirect
5. #23462	C₂	semidirect
6. #23461	C₂	semidirect
7. C₂×#2027	C₂	semidirect
8. #20358	C₂	semidirect
9. #20343	C₂	semidirect
16. #3458	C₂²	semidirect
17. C₂×#544	C₂²	semidirect
31. #2028	C₂²	semidirect
32. #2028	C₂²	semidirect
33. #2027	C₂²	semidirect
34. #2027	C₂²	semidirect
35. #2027	C₂²	semidirect
36. #1742	C₂²	semidirect
37. C₂×#343	C₂²	semidirect
38. #1733	C₂²	semidirect
39. C₂×#339	C₂²	semidirect
43. C₂×H(5,𝔽₂)	Q₈	semidirect
123. C₂×#41	C₂×Q₈	semidirect
138. C₂²×D₄	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62854	2
#60087	2
#34258	2
#23463	2
#23462	2
#23461	2
C₂×#2027	2
#20358	2
#20343	2