Subgroups — #6431836

Order 512.

3994 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34044	C₂	1	3	yes	maximal
3	#23470	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#23469	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#23468	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23467	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1740	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#3458	—	2	6	no	—
10	#3458	—	2	6	no	—
11	#3458	C₂²	1	4	yes	—
12	#3458	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#544	—	2	6	no	—
14	C₂×#543	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#533	—	2	6	no	—
16	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	—
18	#2311	—	2	6	no	—
19	#2311	—	2	6	no	—
20	#2310	C₂²	1	6	yes	—
21	#2309	C₂²	1	6	yes	—
22	#2308	C₂²	1	12	yes	—
23	#2297	—	2	6	no	—
24	#2297	—	2	6	no	—
25	#2280	C₂²	1	12	yes	—
26	#2030	C₂²	1	32	yes	—
27	#2029	C₂²	1	32	yes	—
28	#1740	C₂²	1	12	yes	—
29	#1740	C₂²	1	12	yes	—
30	C₂×#342	C₂²	1	12	yes	—
31	C₂²×#41	—	2	3	no	—
32	C₂²×#41	—	2	3	no	—
33	C₂²×#41	—	2	3	no	—
34	C₂²×#41	—	2	3	no	—
35	C₂²×#41	—	2	12	no	—
36	C₂²×#41	Q₈	1	8	yes	complemented
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#544	—	2	48	no	—
43	#544	—	2	24	no	—
44	#544	—	2	24	no	—
45	#543	—	2	24	no	—
46	#543	C₂³	1	16	yes	—
47	#533	—	2	24	no	—
48	#533	—	2	24	no	—
49	#533	—	2	24	no	—
50	#533	—	2	24	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
52	C₂×#125	—	2	12	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
55	C₂×#117	—	2	6	no	—
56	C₂×#117	—	2	6	no	—
57	C₂×#117	—	2	6	no	—
58	C₂×#117	—	2	6	no	—
59	C₂×#117	—	2	3	no	—
60	C₂×#117	—	2	3	no	—
61	C₂×#117	—	2	24	no	—
62	C₂×#117	D₄	1	6	yes	—
63	C₂×#117	D₄	1	6	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	6	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
74	#391	—	2	12	no	—
75	#391	—	2	12	no	—
76	#390	—	2	12	no	—
77	#390	—	2	12	no	—
78	#386	—	2	24	no	—
79	#386	—	2	24	no	—
80	#381	C₂³	1	24	yes	—
81	#380	—	2	24	no	—
82	#379	C₂³	1	24	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
84	#342	C₂³	1	48	yes	—
85	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
86	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#41	—	2	24	no	—
88	C₂×#41	—	2	24	no	—
89	C₂×#41	—	2	24	no	—
90	C₂×#41	—	2	24	no	—
91	C₂×#41	—	4	3	no	—
92	C₂×#41	—	4	3	no	—
93	C₂×#41	—	4	6	no	—
94	C₂×#41	—	4	1	no	—
95	C₂×#41	—	4	3	no	—
96	C₂×#41	—	4	12	no	—
97	C₂×#41	—	4	12	no	—
98	C₂×#41	—	4	12	no	—
99	C₂×#41	—	4	12	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
105	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
112	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
113	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
124	C₂³×C₄	#41	1	12	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
130	#125	—	2	48	no	—
131	#125	—	2	48	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	96	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	96	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
136	#117	—	2	12	no	—
137	#117	—	2	12	no	—
138	#117	—	2	12	no	—
139	#117	—	2	12	no	—
140	#117	—	2	12	no	—
141	#117	—	2	12	no	—
142	#117	—	2	12	no	—
143	#117	—	2	12	no	—
144	#117	—	2	24	no	—
145	#117	—	2	24	no	—
146	#117	—	4	12	no	—
147	#117	—	4	12	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
164	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	12	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
173	#95	—	2	48	no	—
174	C₂⁴	—	2	6	no	—
175	C₂⁴	—	2	6	no	—
176	C₂⁴	—	8	2	no	—
177	C₂⁴	—	8	4	no	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
180	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
181	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂×#41	1	6	yes	—
183	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
184	#41	—	4	24	no	—
185	#41	—	4	24	no	—
186	#41	—	4	48	no	—
187	#41	—	4	8	no	—
188	#41	—	4	24	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
196	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
197	C₂×D₄	—	2	24	no	—
198	C₂×D₄	—	2	24	no	—
199	C₂×D₄	—	2	12	no	—
200	C₂×D₄	—	2	12	no	—
201	C₂×D₄	—	4	6	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	12	no	—
204	C₂×D₄	—	4	12	no	—
205	C₂×D₄	—	4	1	no	—
206	C₂×D₄	—	4	3	no	—
207	C₂×D₄	—	4	6	no	—
208	C₂×D₄	—	4	6	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
223	C₂²×C₄	#120	1	3	yes	—
224	C₂²×C₄	#120	1	3	yes	—
225	C₂²×C₄	#120	1	6	yes	—
226	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#120	1	3	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
232	C₂²×C₄	#124	1	12	yes	—
233	C₂²×C₄	#124	1	12	yes	—
234	C₂²×C₄	#124	1	12	yes	—
235	C₂²×C₄	#124	1	12	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
246	C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	48	no	—
256	C₄²	—	2	12	no	—
257	C₄²	—	2	12	no	—
258	C₄²	—	2	12	no	—
259	C₄²	—	2	12	no	—
260	C₄²	—	4	12	no	—
261	C₄²	—	4	12	no	—
262	C₂³	—	2	12	no	—
263	C₂³	—	4	6	no	—
264	C₂³	—	4	6	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	4	24	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	6	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	4	no	—
271	C₂³	—	8	6	no	—
272	C₂³	—	8	12	no	—
273	C₂³	C₂×#120	1	3	yes	—
274	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
276	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
277	C₂³	C₂×#124	1	6	yes	—
278	C₂³	C₂×#124	1	6	yes	—
279	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
280	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
282	Q₈	—	4	4	no	—
283	Q₈	—	4	12	no	—
284	Q₈	—	8	32	no	—
285	D₄	—	4	24	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	12	no	—
289	C₂×C₄	—	2	24	no	—
290	C₂×C₄	—	2	12	no	—
291	C₂×C₄	—	4	24	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	6	no	—
294	C₂×C₄	—	4	24	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	24	no	—
297	C₂×C₄	—	4	24	no	—
298	C₂×C₄	—	4	12	no	—
299	C₂×C₄	—	8	12	no	—
300	C₂×C₄	—	8	24	no	—
301	C₂×C₄	#393	1	12	yes	—
302	C₂×C₄	#393	1	12	yes	—
303	C₂×C₄	#393	1	24	yes	—
304	C₂×C₄	#393	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#393	1	12	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#124	1	6	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#124	1	6	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#124	1	6	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#124	1	6	yes	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	6	no	—
320	C₂²	—	2	6	no	—
321	C₂²	—	4	6	no	—
322	C₂²	—	4	1	no	—
323	C₂²	—	4	3	no	—
324	C₂²	—	4	6	no	—
325	C₂²	—	4	6	no	—
326	C₂²	—	4	6	no	—
327	C₂²	—	4	24	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	8	12	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	C₂×#393	1	6	yes	—
332	C₂²	C₂×#393	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	3	yes	—
335	C₂²	C₂²×#124	1	3	yes	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	—	4	24	no	—
338	C₄	—	8	12	no	—
339	C₄	C₂×#393	1	6	yes	—
340	C₄	C₂×#393	1	2	yes	—
341	C₄	C₂×#393	1	2	yes	—
342	C₄	C₂×#393	1	6	yes	—
343	C₂	—	2	3	no	—
344	C₂	—	2	3	no	—
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	2	6	no	—
347	C₂	—	8	4	no	—
348	C₂	C₂²×#393	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#60398	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
socle	C₂²	C₂²×#120
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3458	C₂	semidirect
3. #23470	C₂	semidirect
4. #23469	C₂	semidirect
5. #23468	C₂	semidirect
6. #23467	C₂	semidirect
7. C₂×#1740	C₂	semidirect
36. C₂²×#41	Q₈	semidirect
104. C₂²×Q₈	C₂×Q₈	semidirect
112. C₂²×D₄	C₂×Q₈	semidirect
123. C₂³×C₄	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3458	2
#34044	2
#23470	2
#23469	2
#23468	2
#23467	2
C₂×#1740	2