Subgroups — #6431995

Order 512.

3310 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60109	C₂	1	2	yes	maximal
3	#34183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#23562	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#23561	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#23560	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	C₂×#2060	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#20358	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20343	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	#3504	—	2	8	no	—
12	#3503	—	2	8	no	—
13	#3502	—	2	2	no	—
14	#3501	—	2	6	no	—
15	#3458	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×#544	C₂²	1	6	yes	—
17	#3428	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2913	—	2	8	no	—
22	#2912	—	2	8	no	—
23	#2911	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂×#428	C₂²	1	12	yes	—
25	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
26	D₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
27	#2317	C₂²	1	3	yes	—
28	#2317	C₂²	1	3	yes	—
29	#2285	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂×#384	C₂²	1	3	yes	—
31	#2061	C₂²	1	12	yes	—
32	#2061	C₂²	1	12	yes	—
33	#2060	C₂²	1	12	yes	—
34	#2060	C₂²	1	24	yes	—
35	#2060	C₂²	1	4	yes	—
36	#1742	C₂²	1	6	yes	—
37	C₂×#343	C₂²	1	6	yes	—
38	#1733	C₂²	1	12	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	12	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#568	—	2	8	no	—
42	#568	Q₈	1	16	yes	complemented
43	C₂×#131	—	2	8	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
45	Q₈²	—	2	8	no	—
46	#557	—	2	16	no	—
47	#557	—	2	8	no	—
48	#554	—	2	48	no	—
49	#554	—	2	24	no	—
50	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
51	#544	—	2	24	no	—
52	#544	—	2	12	no	—
53	#544	—	2	12	no	—
54	#544	—	2	12	no	—
55	#544	C₂³	1	12	yes	—
56	#544	C₂³	1	4	yes	—
57	#543	—	2	12	no	—
58	#533	—	2	24	no	—
59	#533	—	2	12	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
61	C₂×#125	—	2	12	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
63	#520	—	2	8	no	—
64	#520	—	2	8	no	—
65	#520	D₄	1	8	yes	—
66	#520	D₄	1	8	yes	—
67	#519	—	2	2	no	—
68	#518	—	2	6	no	—
69	C₄×#41	—	2	8	no	—
70	C₄×#41	—	2	4	no	—
71	C₄×#41	Q₈	1	8	yes	complemented
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
77	C₂×C₄×D₄	D₄	1	6	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
80	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
86	#428	—	2	24	no	—
87	#428	—	2	12	no	—
88	#428	—	2	12	no	—
89	#428	C₂³	1	24	yes	—
90	#428	C₂³	1	8	yes	—
91	#427	—	2	24	no	—
92	C₂×#107	—	2	12	no	—
93	C₂×#106	—	2	12	no	—
94	#389	—	2	6	no	—
95	#389	—	2	6	no	—
96	#385	—	2	6	no	—
97	#385	—	2	6	no	—
98	#384	—	2	6	no	—
99	#384	C₂³	1	6	yes	—
100	#384	C₂³	1	3	yes	—
101	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#382	C₂³	1	3	yes	—
103	#382	C₂³	1	3	yes	—
104	#380	—	2	6	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
106	#343	C₂³	1	12	yes	—
107	#343	C₂³	1	4	yes	—
108	#339	C₂³	1	8	yes	—
109	#339	C₂³	1	24	yes	—
110	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
113	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
114	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
121	#131	—	2	64	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	48	yes	complemented
125	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
132	#125	—	2	48	no	—
133	#125	—	2	24	no	—
134	#125	—	2	24	no	—
135	#125	—	2	8	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
147	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	24	no	—
149	C₄×D₄	—	2	24	no	—
150	C₄×D₄	—	2	24	no	—
151	C₄×D₄	—	2	24	no	—
152	C₄×D₄	—	4	12	no	—
153	#117	—	2	12	no	—
154	#117	—	2	12	no	—
155	#117	—	2	12	no	—
156	#117	—	2	6	no	—
157	#117	—	2	12	no	—
158	#117	C₂×D₄	1	24	yes	—
159	#117	C₂×Q₈	1	12	yes	complemented
160	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
182	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	complemented
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	#107	—	2	24	no	—
191	#107	—	2	8	no	—
192	#106	—	2	24	no	—
193	#106	—	2	8	no	—
194	#95	—	2	6	no	—
195	#95	—	2	6	no	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
197	#41	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
198	#41	C₄⋊Q₈	1	32	yes	—
199	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
201	C₂×Q₈	—	16	12	no	—
202	C₂×Q₈	#120	1	4	yes	—
203	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
204	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
205	C₂×D₄	#120	1	12	yes	—
206	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
207	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	2	48	no	—
230	M₁₆	—	2	8	no	—
231	M₁₆	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
232	C₂×C₈	—	2	48	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
250	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
251	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
257	C₄²	—	2	24	no	—
258	C₄²	—	2	12	no	—
259	C₄²	—	2	12	no	—
260	C₄²	—	2	8	no	—
261	C₄²	—	2	1	no	—
262	C₄²	—	2	3	no	—
263	C₄²	—	4	6	no	—
264	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
266	C₂³	—	4	3	no	—
267	C₂³	—	4	3	no	—
268	C₂³	C₂×#120	1	6	yes	—
269	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
270	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	6	yes	—
271	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
272	Q₈	—	8	8	no	—
273	Q₈	—	8	24	no	—
274	Q₈	#395	1	16	yes	—
275	D₄	#395	1	48	yes	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	6	no	—
283	C₂×C₄	—	2	6	no	—
284	C₂×C₄	—	4	24	no	—
285	C₂×C₄	—	4	3	no	—
286	C₂×C₄	—	4	3	no	—
287	C₂×C₄	—	4	6	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	6	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	3	no	—
293	C₂×C₄	—	8	12	no	—
294	C₂×C₄	—	8	12	no	—
295	C₂×C₄	—	8	12	no	—
296	C₂×C₄	—	16	6	no	—
297	C₂×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	6	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	24	yes	—
302	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
306	C₈	—	2	16	no	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	—	2	6	no	—
309	C₂²	—	2	1	no	—
310	C₂²	—	2	6	no	—
311	C₂²	—	4	6	no	—
312	C₂²	—	4	6	no	—
313	C₂²	C₂×#395	1	12	yes	—
314	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	4	6	no	—
319	C₄	—	4	6	no	—
320	C₄	—	4	8	no	—
321	C₄	—	4	2	no	—
322	C₄	—	4	8	no	—
323	C₄	—	8	3	no	—
324	C₄	—	8	1	no	—
325	C₄	C₂×#395	1	12	yes	—
326	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
327	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
328	C₂	—	2	1	no	—
329	C₂	—	2	1	no	—
330	C₂	—	2	12	no	—
331	C₂	C₂²×#395	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#60388	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#60391	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #23562	C₂	semidirect
5. #23561	C₂	semidirect
6. #23560	C₂	semidirect
7. C₂×#2060	C₂	semidirect
42. #568	Q₈	semidirect
71. C₄×#41	Q₈	semidirect
124. C₂×M₁₆	C₂×Q₈	semidirect
159. #117	C₂×Q₈	semidirect
187. C₂×C₄²	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62854	2
#60109	2
#34183	2
#23562	2
#23561	2
#23560	2
C₂×#2060	2
#20358	2
#20343	2