Subgroups — #6432099

Order 512.

3812 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62686	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄×#525	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#23596	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#23595	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#23514	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#23467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#23443	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₄×#410	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#3461	—	2	6	no	—
11	#3460	—	2	6	no	—
12	#3459	C₂²	1	8	yes	—
13	#3458	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3455	—	2	6	no	—
15	#3449	C₂²	1	3	yes	—
16	#3444	—	2	6	no	—
17	C₂×#525	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#410	C₂²	1	6	yes	—
21	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
22	C₄×#123	C₂²	1	12	yes	—
23	C₄×#121	—	2	6	no	—
24	C₄×#120	C₂²	1	12	yes	—
25	#2297	C₂²	1	3	yes	—
26	#2296	C₂²	1	3	yes	—
27	#2290	—	2	6	no	—
28	#2280	C₂²	1	3	yes	—
29	C₄²×D₄	—	2	6	no	—
30	C₄×#117	C₂²	1	3	yes	—
31	#2062	C₂²	1	8	yes	—
32	#2044	C₂²	1	24	yes	—
33	#2030	C₂²	1	4	yes	—
34	#2029	C₂²	1	4	yes	—
35	#2022	C₂²	1	12	yes	—
36	#2021	C₂²	1	12	yes	—
37	C₄×#99	C₂²	1	24	yes	—
38	#1740	C₂²	1	3	yes	—
39	#1740	C₂²	1	3	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	#544	—	2	6	no	—
44	#543	C₂³	1	4	yes	—
45	#542	—	2	24	no	—
46	#541	—	2	12	no	—
47	#540	—	2	12	no	—
48	#539	—	2	24	no	—
49	#538	—	2	24	no	—
50	#537	—	2	6	no	—
51	#536	—	2	6	no	—
52	#535	—	2	6	no	—
53	#534	C₂³	1	12	yes	—
54	#533	—	2	12	no	—
55	#533	—	2	6	no	—
56	#532	—	2	12	no	—
57	#532	—	2	6	no	—
58	#529	—	2	24	no	—
59	#529	—	2	24	no	—
60	#529	—	2	24	no	—
61	#525	—	2	12	no	—
62	#525	—	2	24	no	—
63	#525	—	2	12	no	—
64	#525	—	2	12	no	—
65	C₂×#123	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
67	C₂×#121	—	2	3	no	—
68	C₂×#120	C₂³	1	6	yes	—
69	C₄×#41	—	2	8	no	—
70	C₄×#41	—	2	6	no	—
71	C₄×#41	—	2	6	no	—
72	C₄×#41	—	2	12	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	6	yes	complemented
74	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
76	C₂×C₄×D₄	D₄	1	6	yes	complemented
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	12	yes	—
78	C₂×#117	D₄	1	6	yes	complemented
79	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
80	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
83	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
84	C₂²×C₄²	—	2	6	no	—
85	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	complemented
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#410	—	2	24	no	—
90	C₂×#99	C₂³	1	24	yes	—
91	#391	—	2	3	no	—
92	#390	—	2	3	no	—
93	#389	—	2	6	no	—
94	#388	—	2	12	no	—
95	#387	—	2	12	no	—
96	#386	—	2	12	no	—
97	#386	C₂³	1	12	yes	—
98	#385	—	2	12	no	—
99	#385	C₂³	1	12	yes	—
100	#381	C₂³	1	6	yes	—
101	#380	—	2	6	no	—
102	#379	C₂³	1	6	yes	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
107	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
108	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
109	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
110	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
111	#376	—	2	3	no	—
112	C₄³	—	2	3	no	—
113	#342	C₂³	1	12	yes	—
114	#342	C₂³	1	12	yes	—
115	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×#41	—	2	8	no	—
117	C₂×#41	—	2	6	no	—
118	C₂×#41	—	2	6	no	—
119	C₂×#41	—	2	6	no	—
120	C₂×#41	—	2	6	no	—
121	C₂×#41	—	2	12	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
124	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
134	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	complemented
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
141	#127	—	2	6	no	—
142	#126	—	2	48	no	—
143	#125	—	2	24	no	—
144	#125	—	2	12	no	—
145	#124	—	2	12	no	—
146	#124	—	2	24	no	—
147	#123	—	2	48	no	—
148	#123	—	2	24	no	—
149	#123	—	2	12	no	—
150	#123	—	2	12	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
155	#121	—	2	24	no	—
156	#121	—	2	24	no	—
157	#121	—	2	24	no	—
158	#121	—	2	24	no	—
159	#120	—	2	24	no	—
160	#120	—	2	12	no	—
161	#120	—	2	12	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
166	C₄×D₄	—	2	48	no	—
167	C₄×D₄	—	2	24	no	—
168	C₄×D₄	—	2	24	no	—
169	C₄×D₄	—	2	24	no	—
170	C₄×D₄	—	2	24	no	—
171	C₄×D₄	—	2	12	no	—
172	C₄×D₄	—	2	12	no	—
173	C₄×D₄	—	4	48	no	—
174	#117	—	2	24	no	—
175	#117	—	2	6	no	—
176	#117	—	2	6	no	—
177	#117	—	2	6	no	—
178	#117	—	2	12	no	—
179	#117	—	2	12	no	—
180	#117	—	2	12	no	—
181	#117	#41	1	12	yes	complemented
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
196	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
206	C₂×C₄²	—	4	3	no	—
207	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
208	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
209	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
215	#99	—	2	48	no	—
216	#95	—	2	12	no	—
217	#95	—	2	12	no	—
218	#95	—	2	12	no	—
219	#95	—	2	12	no	—
220	C₂⁴	—	2	3	no	—
221	C₂⁴	—	2	3	no	—
222	C₂⁴	—	4	4	no	—
223	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
224	C₂⁴	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
226	#41	—	4	12	no	—
227	#41	—	4	12	no	—
228	#41	—	4	12	no	—
229	#41	—	4	12	no	—
230	#41	—	8	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
235	C₂×D₄	—	2	24	no	—
236	C₂×D₄	—	2	12	no	—
237	C₂×D₄	—	2	12	no	—
238	C₂×D₄	—	2	6	no	—
239	C₂×D₄	—	2	6	no	—
240	C₂×D₄	—	2	24	no	—
241	C₂×D₄	—	2	6	no	—
242	C₂×D₄	—	2	6	no	—
243	C₂×D₄	—	2	6	no	—
244	C₂×D₄	—	4	24	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
297	C₂²⋊C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
298	C₄²	—	2	6	no	—
299	C₄²	—	2	12	no	—
300	C₄²	—	2	6	no	—
301	C₄²	—	2	12	no	—
302	C₄²	—	2	12	no	—
303	C₄²	—	4	24	no	—
304	C₄²	—	4	6	no	—
305	C₄²	—	4	1	no	—
306	C₄²	—	4	3	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	4	6	no	—
309	C₄²	#120	1	3	yes	—
310	C₄²	#120	1	6	yes	—
311	C₄²	#120	1	6	yes	—
312	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	—	2	12	no	—
314	C₂³	—	2	6	no	—
315	C₂³	—	2	6	no	—
316	C₂³	—	2	6	no	—
317	C₂³	—	2	6	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	4	6	no	—
321	C₂³	—	4	12	no	—
322	C₂³	—	4	12	no	—
323	C₂³	—	4	1	no	—
324	C₂³	—	4	3	no	—
325	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
326	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
328	Q₈	—	4	12	no	—
329	Q₈	—	8	8	no	—
330	D₄	—	4	48	no	—
331	D₄	—	4	12	no	—
332	D₄	—	4	12	no	—
333	D₄	—	4	12	no	—
334	D₄	—	8	24	no	—
335	C₂×C₄	—	2	12	no	—
336	C₂×C₄	—	2	12	no	—
337	C₂×C₄	—	2	6	no	—
338	C₂×C₄	—	2	12	no	—
339	C₂×C₄	—	2	12	no	—
340	C₂×C₄	—	2	6	no	—
341	C₂×C₄	—	2	6	no	—
342	C₂×C₄	—	2	6	no	—
343	C₂×C₄	—	4	6	no	—
344	C₂×C₄	—	4	24	no	—
345	C₂×C₄	—	4	12	no	—
346	C₂×C₄	—	4	6	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	3	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	12	no	—
352	C₂×C₄	—	4	12	no	—
353	C₂×C₄	—	4	12	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	24	no	—
356	C₂×C₄	—	4	12	no	—
357	C₂×C₄	—	4	12	no	—
358	C₂×C₄	—	4	6	no	—
359	C₂×C₄	—	8	12	no	—
360	C₂×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
365	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
366	C₂×C₄	#532	1	6	yes	—
367	C₂×C₄	#532	1	6	yes	—
368	C₂²	—	2	6	no	—
369	C₂²	—	2	12	no	—
370	C₂²	—	4	1	no	—
371	C₂²	—	4	3	no	—
372	C₂²	—	4	6	no	—
373	C₂²	—	4	12	no	—
374	C₂²	—	4	12	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	4	6	no	—
378	C₂²	—	4	12	no	—
379	C₂²	—	8	6	no	—
380	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
382	C₂²	C₂×#532	1	3	yes	—
383	C₄	—	2	6	no	—
384	C₄	—	4	12	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	4	6	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	4	12	no	—
389	C₄	—	8	6	no	—
390	C₄	#2388	1	2	yes	—
391	C₄	#2388	1	6	yes	—
392	C₄	#3025	1	4	yes	—
393	C₂	—	2	3	no	—
394	C₂	—	2	3	no	—
395	C₂	—	4	4	no	—
396	C₂	—	8	6	no	—
397	C₂	C₂×#2388	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#3025	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₄²	#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
socle	C₂²	C₂²×#120
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #62686	C₂	semidirect
2. C₄×#525	C₂	semidirect
3. #23596	C₂	semidirect
4. #23595	C₂	semidirect
5. #23564	C₂	semidirect
6. #23514	C₂	semidirect
7. #23467	C₂	semidirect
8. #23443	C₂	semidirect
9. C₄×#410	C₂	semidirect
73. C₂×C₄×Q₈	D₄	semidirect
76. C₂×C₄×D₄	D₄	semidirect
78. C₂×#117	D₄	semidirect
85. C₂²×C₄²	D₄	semidirect
134. C₂³×C₄	#41	semidirect
181. #117	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62686	2
C₄×#525	2
#23596	2
#23595	2
#23564	2
#23514	2
#23467	2
#23443	2
C₄×#410	2