Subgroups — #6432112

Order 512.

3421 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34266	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#23598	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#23596	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#23514	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#23470	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#23446	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#20393	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#3507	—	2	6	no	—
11	#3506	—	2	6	no	—
12	#3493	—	2	6	no	—
13	#3492	—	2	6	no	—
14	#3459	C₂²	1	8	yes	—
15	#3458	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3449	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#536	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×#520	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#410	C₂²	1	6	yes	—
21	#2367	—	2	6	no	—
22	#2365	—	2	6	no	—
23	#2362	—	2	6	no	—
24	#2360	—	2	6	no	—
25	#2322	C₂²	1	12	yes	—
26	#2310	C₂²	1	3	yes	—
27	C₄×#123	C₂²	1	12	yes	—
28	#2297	C₂²	1	3	yes	—
29	#2296	C₂²	1	3	yes	—
30	#2274	C₂²	1	3	yes	—
31	#2062	C₂²	1	4	yes	—
32	#2062	C₂²	1	4	yes	—
33	#2044	C₂²	1	12	yes	—
34	#2044	C₂²	1	12	yes	—
35	#2030	C₂²	1	8	yes	—
36	#2022	C₂²	1	24	yes	—
37	C₄×#99	C₂²	1	24	yes	—
38	#1740	C₂²	1	3	yes	—
39	#1740	C₂²	1	3	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#559	—	2	12	no	—
43	#557	—	2	4	no	—
44	#556	—	2	12	no	—
45	#556	—	2	12	no	—
46	#555	—	2	12	no	—
47	#554	—	2	12	no	—
48	#553	—	2	24	no	—
49	#552	—	2	24	no	—
50	#550	—	2	4	no	—
51	#547	—	2	12	no	—
52	#544	—	2	3	no	—
53	#544	—	2	3	no	—
54	#543	C₂³	1	4	yes	—
55	#539	—	2	24	no	—
56	#538	—	2	24	no	—
57	#537	—	2	3	no	—
58	#537	—	2	3	no	—
59	#536	—	2	6	no	—
60	#536	—	2	12	no	—
61	#536	—	2	12	no	—
62	#535	—	2	6	no	—
63	#534	C₂³	1	12	yes	—
64	#533	—	2	6	no	—
65	#532	—	2	6	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
67	#529	—	2	24	no	—
68	C₂×#124	—	2	3	no	—
69	#525	—	2	12	no	—
70	#525	—	2	24	no	—
71	C₂×#123	C₂³	1	12	yes	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
73	#520	—	2	12	no	—
74	#520	—	2	12	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	6	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	D₄	1	6	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	12	yes	—
80	C₂×#117	D₄	1	6	yes	—
81	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
83	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	6	yes	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
89	#410	—	2	24	no	—
90	C₂×#99	C₂³	1	24	yes	—
91	#391	—	2	3	no	—
92	#391	—	2	3	no	—
93	#391	—	2	3	no	—
94	#391	—	2	6	no	—
95	#390	—	2	3	no	—
96	#389	—	2	12	no	—
97	#389	—	2	3	no	—
98	#389	—	2	3	no	—
99	#388	—	2	12	no	—
100	#388	—	2	12	no	—
101	#387	—	2	12	no	—
102	#387	—	2	12	no	—
103	#386	C₂³	1	6	yes	—
104	#386	C₂³	1	6	yes	—
105	#385	—	2	12	no	—
106	#385	C₂³	1	6	yes	—
107	#385	C₂³	1	6	yes	—
108	#381	C₂³	1	12	yes	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
114	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
115	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
116	#342	C₂³	1	12	yes	—
117	#342	C₂³	1	12	yes	—
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂×#41	—	2	6	no	—
120	C₂×#41	—	2	6	no	—
121	C₂×#41	—	2	6	no	—
122	C₂×#41	—	2	6	no	—
123	C₂×#41	—	2	12	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
128	C₂²×Q₈	#41	1	4	yes	complemented
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
142	#127	—	2	6	no	—
143	#126	—	2	48	no	—
144	#125	—	2	24	no	—
145	#125	—	2	12	no	—
146	#124	—	2	24	no	—
147	#124	—	2	24	no	—
148	#124	—	2	12	no	—
149	#123	—	2	48	no	—
150	#123	—	2	24	no	—
151	#123	—	2	24	no	—
152	#123	—	2	24	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
159	#121	—	2	12	no	—
160	#121	—	2	12	no	—
161	#121	—	2	24	no	—
162	#121	—	2	12	no	—
163	#121	—	2	12	no	—
164	#120	—	2	24	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
170	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
172	C₄×D₄	—	2	24	no	—
173	C₄×D₄	—	2	12	no	—
174	C₄×D₄	—	2	12	no	—
175	C₄×D₄	—	2	48	no	—
176	C₄×D₄	—	2	12	no	—
177	C₄×D₄	—	2	12	no	—
178	#117	—	2	24	no	—
179	#117	—	2	6	no	—
180	#117	—	2	6	no	—
181	#117	—	2	6	no	—
182	#117	—	2	24	no	—
183	#117	—	2	12	no	—
184	#117	#41	1	12	yes	complemented
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
212	#99	—	2	48	no	—
213	#95	—	2	6	no	—
214	#95	—	2	6	no	—
215	#95	—	2	12	no	—
216	#95	—	2	6	no	—
217	#95	—	2	12	no	—
218	#95	—	2	12	no	—
219	#95	—	2	6	no	—
220	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
221	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
222	#41	—	4	12	no	—
223	#41	—	4	12	no	—
224	#41	—	4	12	no	—
225	#41	—	4	12	no	—
226	#41	—	16	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
239	C₂×D₄	—	2	12	no	—
240	C₂×D₄	—	2	12	no	—
241	C₂×D₄	—	2	6	no	—
242	C₂×D₄	—	2	6	no	—
243	C₂×D₄	—	2	12	no	—
244	C₂×D₄	—	2	12	no	—
245	C₂×D₄	—	2	3	no	—
246	C₂×D₄	—	2	3	no	—
247	C₂×D₄	—	2	6	no	—
248	C₂×D₄	—	2	6	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
284	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
285	C₄⋊C₄	#120	1	12	yes	—
286	C₄⋊C₄	#120	1	4	yes	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
296	C₂²⋊C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
297	C₄²	—	2	24	no	—
298	C₄²	—	2	6	no	—
299	C₄²	—	2	6	no	—
300	C₄²	—	2	12	no	—
301	C₄²	—	4	8	no	—
302	C₄²	—	4	1	no	—
303	C₄²	—	4	3	no	—
304	C₄²	—	4	6	no	—
305	C₄²	—	8	12	no	—
306	C₂³	—	2	6	no	—
307	C₂³	—	2	6	no	—
308	C₂³	—	2	6	no	—
309	C₂³	—	4	1	no	—
310	C₂³	—	4	1	no	—
311	C₂³	—	4	6	no	—
312	C₂³	—	4	6	no	—
313	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
314	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
316	Q₈	—	4	12	no	—
317	Q₈	—	4	4	no	—
318	Q₈	—	4	6	no	—
319	Q₈	—	4	6	no	—
320	Q₈	—	8	4	no	—
321	Q₈	—	8	4	no	—
322	D₄	—	4	12	no	—
323	D₄	—	4	12	no	—
324	D₄	—	4	6	no	—
325	D₄	—	4	6	no	—
326	D₄	—	8	12	no	—
327	D₄	—	8	12	no	—
328	C₂×C₄	—	2	6	no	—
329	C₂×C₄	—	2	6	no	—
330	C₂×C₄	—	2	6	no	—
331	C₂×C₄	—	2	6	no	—
332	C₂×C₄	—	2	12	no	—
333	C₂×C₄	—	2	12	no	—
334	C₂×C₄	—	2	6	no	—
335	C₂×C₄	—	2	6	no	—
336	C₂×C₄	—	4	12	no	—
337	C₂×C₄	—	4	6	no	—
338	C₂×C₄	—	4	6	no	—
339	C₂×C₄	—	4	3	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	6	no	—
343	C₂×C₄	—	4	24	no	—
344	C₂×C₄	—	4	6	no	—
345	C₂×C₄	—	4	6	no	—
346	C₂×C₄	—	4	6	no	—
347	C₂×C₄	—	4	6	no	—
348	C₂×C₄	—	4	3	no	—
349	C₂×C₄	—	4	3	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	6	no	—
352	C₂×C₄	—	8	24	no	—
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
356	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
357	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
358	C₂×C₄	#532	1	6	yes	—
359	C₂×C₄	#532	1	6	yes	—
360	C₂²	—	2	3	no	—
361	C₂²	—	2	3	no	—
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	3	no	—
364	C₂²	—	4	12	no	—
365	C₂²	—	4	6	no	—
366	C₂²	—	4	6	no	—
367	C₂²	—	4	6	no	—
368	C₂²	—	8	6	no	—
369	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
371	C₂²	C₂×#532	1	3	yes	—
372	C₄	—	2	8	no	—
373	C₄	—	4	12	no	—
374	C₄	—	4	6	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	6	no	—
378	C₄	—	4	6	no	—
379	C₄	—	8	6	no	—
380	C₄	—	8	1	no	—
381	C₄	#2388	1	6	yes	—
382	C₄	#2388	1	2	yes	—
383	C₂	—	2	3	no	—
384	C₂	—	2	3	no	—
385	C₂	—	8	6	no	—
386	C₂	C₂×#2388	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#60400	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#60401	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	#62845	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34266	C₂	semidirect
3. #23598	C₂	semidirect
4. #23596	C₂	semidirect
5. #23564	C₂	semidirect
6. #23514	C₂	semidirect
7. #23470	C₂	semidirect
8. #23446	C₂	semidirect
9. #20393	C₂	semidirect
128. C₂²×Q₈	#41	semidirect
184. #117	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62845	2
#34266	2
#23598	2
#23596	2
#23564	2
#23514	2
#23470	2
#23446	2
#20393	2