Subgroups — #6432169

Order 512.

3486 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#418	C₂	1	2	yes	maximal
2	#34052	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#23632	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#23628	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#20347	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#418	—	2	16	no	—
14	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
17	#2317	C₂²	1	8	yes	complemented
18	#2316	—	2	2	no	—
19	#2315	—	2	2	no	—
20	#2309	—	2	4	no	—
21	#2309	C₂²	1	8	yes	—
22	#2296	—	2	4	no	—
23	C₂×#390	—	2	2	no	—
24	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
25	#2285	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#379	—	2	2	no	—
27	#2073	C₂²	1	32	yes	complemented
28	#2071	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#1736	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#1736	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#1735	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1729	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1728	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂⁶	—	2	1	no	—
35	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
37	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂³×D₄	D₄	1	8	yes	—
41	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×#117	—	2	8	no	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	—	2	8	no	—
55	C₂×#117	—	2	8	no	—
56	C₂×#117	—	2	8	no	—
57	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	#418	—	2	32	no	—
73	#418	—	2	32	no	—
74	C₂×#102	—	2	32	no	—
75	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
76	#390	—	2	16	no	—
77	#390	—	2	8	no	—
78	#390	C₂³	1	16	yes	—
79	#389	—	2	16	no	—
80	#385	—	2	16	no	—
81	#384	C₂³	1	8	yes	complemented
82	#382	C₂³	1	8	yes	complemented
83	#380	—	2	8	no	—
84	#379	—	2	16	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
86	#340	C₂³	1	32	yes	complemented
87	#336	C₂³	1	16	yes	complemented
88	C₂⁵	—	2	2	no	—
89	C₂⁵	—	2	8	no	—
90	C₂⁵	—	2	4	no	—
91	C₂⁵	—	4	4	no	—
92	C₂⁵	—	4	4	no	—
93	C₂⁵	—	8	8	no	—
94	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
113	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
114	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
138	#117	—	2	16	no	—
139	#117	—	2	8	no	—
140	#117	—	2	8	no	—
141	#117	—	2	8	no	—
142	#117	—	2	8	no	—
143	#117	—	2	8	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	#117	—	2	8	no	—
146	#117	—	2	8	no	—
147	#117	—	4	8	no	—
148	#117	—	4	8	no	—
149	#117	—	4	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
177	#102	—	2	64	no	—
178	#95	—	2	16	no	—
179	C₂⁴	—	2	8	no	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	2	16	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	—	4	16	no	—
184	C₂⁴	—	4	4	no	—
185	C₂⁴	—	4	8	no	—
186	C₂⁴	—	4	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	8	no	—
188	C₂⁴	—	4	32	no	—
189	C₂⁴	—	8	16	no	—
190	C₂⁴	—	8	32	no	—
191	C₂⁴	—	8	32	no	—
192	C₂⁴	—	8	32	no	—
193	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
194	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
195	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×D₄	—	2	8	no	—
199	C₂×D₄	—	2	16	no	—
200	C₂×D₄	—	2	32	no	—
201	C₂×D₄	—	2	32	no	—
202	C₂×D₄	—	2	32	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	64	no	—
214	C₂×D₄	—	4	32	no	—
215	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
224	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	#123	1	32	yes	—
227	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	#126	1	32	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
246	M₁₆	—	4	16	no	—
247	M₁₆	—	4	16	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
264	C₄²	—	2	8	no	—
265	C₄²	—	2	8	no	—
266	C₄²	—	4	8	no	—
267	C₄²	—	4	8	no	—
268	C₄²	—	4	8	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	—	4	32	no	—
276	C₂³	—	4	16	no	—
277	C₂³	—	4	16	no	—
278	C₂³	—	4	32	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	8	32	no	—
282	C₂³	—	8	16	no	—
283	C₂³	—	8	16	no	—
284	C₂³	—	8	32	no	—
285	C₂³	—	8	32	no	—
286	C₂³	—	8	128	no	—
287	C₂³	#397	1	16	yes	—
288	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#121	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂×#123	1	4	yes	—
291	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
295	D₄	—	2	16	no	—
296	D₄	—	4	16	no	—
297	D₄	—	4	32	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	16	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	16	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	16	no	—
308	C₂×C₄	#397	1	32	yes	—
309	C₂×C₄	#397	1	16	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#126	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#126	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#126	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
326	C₈	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	2	8	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	8	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	4	16	no	—
334	C₂²	—	4	16	no	—
335	C₂²	—	4	8	no	—
336	C₂²	—	8	32	no	—
337	C₂²	—	8	64	no	—
338	C₂²	—	8	8	no	—
339	C₂²	—	8	8	no	—
340	C₂²	C₂×#397	1	8	yes	—
341	C₂²	C₂×#397	1	4	yes	—
342	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3585	1	4	yes	—
346	C₄	—	4	8	no	—
347	C₄	—	8	8	no	—
348	C₄	—	8	4	no	—
349	C₄	C₂×#397	1	4	yes	—
350	C₄	C₂×#397	1	8	yes	—
351	C₄	C₂²×#123	1	2	yes	—
352	C₄	C₂²×#126	1	2	yes	—
353	C₂	—	2	8	no	—
354	C₂	—	2	4	no	—
355	C₂	—	8	8	no	—
356	C₂	C₂²×#397	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#60423	1	2	yes	—
358	C₂	#60518	1	2	yes	—
359	C₂	#60619	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #34052	C₂	semidirect
4. #23632	C₂	semidirect
5. #23628	C₂	semidirect
6. #20347	C₂	semidirect
7. #20335	C₂	semidirect
17. #2317	C₂²	semidirect
25. #2285	C₂²	semidirect
27. #2073	C₂²	semidirect
28. #2071	C₂²	semidirect
29. #1736	C₂²	semidirect
30. #1736	C₂²	semidirect
31. #1735	C₂²	semidirect
32. #1729	C₂²	semidirect
33. #1728	C₂²	semidirect
81. #384	C₂³	semidirect
82. #382	C₂³	semidirect
86. #340	C₂³	semidirect
87. #336	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#418	2
#34052	2
C₂×#2309	2
#23632	2
#23628	2
#20347	2
#20335	2