Subgroups — #6432197

Order 512.

2769 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#60087	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#60087	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#2888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#23652	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2081	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
7	#20360	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20360	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2916	—	2	8	no	—
18	C₂×#430	C₂²	1	12	yes	complemented
19	#2897	—	2	8	no	—
20	#2897	—	2	8	no	—
21	#2896	C₂²	1	6	yes	—
22	#2896	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#418	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	6	yes	—
25	#2888	—	2	8	no	—
26	C₂×#413	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂²×#100	C₂²	1	6	yes	—
28	#2082	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#2081	C₂²	1	48	yes	complemented
30	C₂×#344	C₂²	1	12	yes	complemented
31	C₂×#344	C₂²	1	12	yes	complemented
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	12	yes	complemented
33	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
34	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
35	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
36	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
37	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
38	C₂×H(5,𝔽₂)	D₄	1	8	yes	—
39	C₂²×#41	—	2	1	no	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
41	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
44	#568	—	2	4	no	—
45	#568	—	2	4	no	—
46	#568	—	2	4	no	—
47	#568	—	2	4	no	—
48	#568	—	2	4	no	—
49	#568	—	2	4	no	—
50	#568	—	2	4	no	—
51	#568	—	2	4	no	—
52	C₂×#131	—	2	4	no	—
53	C₂×#131	—	2	4	no	—
54	C₂×#131	—	2	4	no	—
55	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
60	#520	—	2	4	no	—
61	#520	—	2	4	no	—
62	#519	—	2	1	no	—
63	#519	—	2	1	no	—
64	#518	—	2	3	no	—
65	#518	—	2	3	no	—
66	C₄×#41	—	2	4	no	—
67	C₄×#41	—	2	4	no	—
68	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
70	#430	—	2	24	no	—
71	#430	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂×#108	—	2	24	no	—
73	#419	C₂³	1	4	yes	—
74	#419	C₂³	1	4	yes	—
75	#418	—	2	12	no	—
76	#418	—	2	12	no	—
77	#418	C₂³	1	12	yes	—
78	#418	C₂³	1	12	yes	—
79	#417	—	2	12	no	—
80	#417	—	2	12	no	—
81	#416	—	2	12	no	—
82	#416	—	2	12	no	—
83	C₂×#102	—	2	12	no	—
84	C₂×#102	—	2	12	no	—
85	#413	—	2	24	no	—
86	C₂×#101	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#100	—	2	24	no	—
88	C₂×#100	C₂³	1	12	yes	—
89	#344	C₂³	1	16	yes	—
90	#344	C₂³	1	16	yes	—
91	H(3,ℤ/4)	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂⁵	—	2	3	no	—
93	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
94	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
95	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
96	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	2	6	no	—
99	C₂×#41	—	2	6	no	—
100	C₂×#41	—	2	6	no	—
101	C₂×#41	—	2	6	no	—
102	C₂×#41	—	2	6	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
106	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
109	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
110	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
111	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
112	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
124	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
125	C₂²×D₄	#41	1	3	yes	—
126	C₂²×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
129	#131	—	2	32	no	—
130	#131	—	4	16	no	—
131	#131	—	4	16	no	—
132	#131	—	4	16	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
145	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
155	C₄×D₄	—	4	12	no	—
156	C₄×D₄	—	4	12	no	—
157	#117	—	2	6	no	—
158	#117	—	2	6	no	—
159	#117	—	2	6	no	—
160	#117	—	2	6	no	—
161	#117	—	2	6	no	—
162	#117	—	2	6	no	—
163	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
164	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
171	#108	—	2	32	no	—
172	#103	—	2	8	no	—
173	#103	—	2	8	no	—
174	#102	—	2	24	no	—
175	#102	—	2	24	no	—
176	#101	—	2	8	no	—
177	#100	—	2	24	no	—
178	C₂⁴	—	2	3	no	—
179	C₂⁴	—	2	12	no	—
180	C₂⁴	—	4	6	no	—
181	C₂⁴	—	4	6	no	—
182	C₂⁴	—	16	6	no	—
183	C₂⁴	C₂×#41	1	3	yes	—
184	#41	—	2	24	no	—
185	#41	—	2	24	no	—
186	#41	—	4	32	no	—
187	#41	—	4	12	no	—
188	#41	—	4	12	no	—
189	#41	#121	1	16	yes	—
190	#41	#123	1	16	yes	—
191	#41	#123	1	16	yes	—
192	#41	#126	1	16	yes	—
193	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
198	C₂×Q₈	#123	1	4	yes	—
199	C₂×Q₈	#124	1	4	yes	—
200	C₂×Q₈	#126	1	4	yes	—
201	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×D₄	—	2	12	no	—
203	C₂×D₄	—	2	24	no	—
204	C₂×D₄	—	2	24	no	—
205	C₂×D₄	—	2	12	no	—
206	C₂×D₄	—	2	3	no	—
207	C₂×D₄	—	2	3	no	—
208	C₂×D₄	—	2	3	no	—
209	C₂×D₄	—	2	3	no	—
210	C₂×D₄	—	2	3	no	—
211	C₂×D₄	—	4	6	no	—
212	C₂×D₄	—	4	6	no	—
213	C₂×D₄	—	4	96	no	—
214	C₂×D₄	—	4	12	no	—
215	C₂×D₄	—	4	6	no	—
216	C₂×D₄	—	4	6	no	—
217	C₂×D₄	—	4	12	no	—
218	C₂×D₄	#123	1	12	yes	—
219	C₂×D₄	#124	1	12	yes	—
220	C₂×D₄	#126	1	12	yes	—
221	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
236	M₁₆	—	2	24	no	—
237	M₁₆	—	2	4	no	—
238	M₁₆	—	2	4	no	—
239	M₁₆	—	2	4	no	—
240	M₁₆	—	2	4	no	—
241	M₁₆	—	2	4	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	2	4	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	4	12	no	—
246	M₁₆	—	4	12	no	—
247	M₁₆	—	4	12	no	—
248	C₂×C₈	—	2	24	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	12	no	—
253	C₂×C₈	—	4	12	no	—
254	C₂×C₈	—	4	12	no	—
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	4	6	no	—
267	C₄²	—	4	6	no	—
268	C₂³	—	2	6	no	—
269	C₂³	—	4	3	no	—
270	C₂³	—	4	3	no	—
271	C₂³	—	4	24	no	—
272	C₂³	—	8	3	no	—
273	C₂³	—	8	6	no	—
274	C₂³	—	16	12	no	—
275	C₂³	—	16	12	no	—
276	C₂³	—	16	12	no	—
277	C₂³	C₂×#123	1	6	yes	—
278	C₂³	C₂×#124	1	6	yes	—
279	C₂³	C₂×#126	1	6	yes	—
280	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	2	2	no	—
282	Q₈	—	2	2	no	—
283	Q₈	—	4	1	no	—
284	Q₈	—	4	1	no	—
285	Q₈	#397	1	16	yes	—
286	D₄	—	2	6	no	—
287	D₄	—	2	6	no	—
288	D₄	—	4	24	no	—
289	D₄	—	4	24	no	—
290	D₄	—	4	3	no	—
291	D₄	—	4	3	no	—
292	D₄	#397	1	48	yes	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	1	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	24	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	16	6	no	—
300	C₂×C₄	—	16	6	no	—
301	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#123	1	6	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#123	1	12	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#123	1	12	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#124	1	6	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#126	1	6	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#126	1	12	yes	—
308	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
314	C₈	—	2	8	no	—
315	C₈	—	4	4	no	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	6	no	—
319	C₂²	—	4	6	no	—
320	C₂²	—	4	1	no	—
321	C₂²	—	4	6	no	—
322	C₂²	—	4	6	no	—
323	C₂²	—	8	6	no	—
324	C₂²	—	8	6	no	—
325	C₂²	—	8	6	no	—
326	C₂²	—	16	24	no	—
327	C₂²	C₂×#397	1	12	yes	—
328	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂²×#126	1	1	yes	characteristic
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	8	4	no	—
333	C₄	—	8	4	no	—
334	C₄	C₂×#397	1	12	yes	—
335	C₄	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
338	C₄	C₂²×#126	1	1	yes	characteristic
339	C₂	—	2	1	no	—
340	C₂	—	2	1	no	—
341	C₂	—	2	1	no	—
342	C₂	—	2	12	no	—
343	C₂	—	8	6	no	—
344	C₂	C₂²×#397	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂²×#397
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60113	C₂	semidirect
5. #23652	C₂	semidirect
6. C₂×#2081	C₂	semidirect
7. #20360	C₂	semidirect
8. #20360	C₂	semidirect
9. #20338	C₂	semidirect
18. C₂×#430	C₂²	semidirect
28. #2082	C₂²	semidirect
29. #2081	C₂²	semidirect
30. C₂×#344	C₂²	semidirect
31. C₂×#344	C₂²	semidirect
32. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60113	2
#60087	2
C₂×#2888	2
#23652	2
C₂×#2081	2
#20360	2
#20338	2