Subgroups — #6432232

Order 512.

2378 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#34052	C₂	1	2	yes	maximal
4	#23669	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23668	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23667	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23666	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#20347	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	—	2	8	no	—
16	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#424	—	2	8	no	—
21	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
25	#2317	—	2	4	no	—
26	#2317	C₂²	1	8	yes	—
27	#2316	C₂²	1	8	yes	—
28	#2315	—	2	4	no	—
29	#2296	—	2	4	no	—
30	#2296	C₂²	1	8	yes	—
31	#2285	—	2	4	no	—
32	#2088	C₂²	1	32	yes	complemented
33	#2087	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#2086	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#1736	C₂²	1	8	yes	—
36	#1736	C₂²	1	8	yes	—
37	#1735	C₂²	1	4	yes	—
38	#1735	C₂²	1	8	yes	—
39	#1735	C₂²	1	2	yes	—
40	#1735	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
48	C₂³×C₈	D₄	1	8	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	—	2	2	no	—
55	C₂×#117	—	2	4	no	—
56	C₂×#117	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	—	2	8	no	—
58	C₂×#117	—	2	4	no	—
59	C₂×#117	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	—	2	2	no	—
61	C₂×#117	—	2	8	no	—
62	C₂×#117	—	2	8	no	—
63	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×#117	Q₈	1	16	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	#427	—	2	16	no	—
82	#427	—	2	16	no	—
83	C₂×#107	—	2	8	no	—
84	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#106	—	2	8	no	—
87	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
88	#424	—	2	8	no	—
89	#424	—	2	8	no	—
90	#424	—	2	16	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
94	#389	—	2	16	no	—
95	#389	C₂³	1	32	yes	—
96	#385	—	2	16	no	—
97	#385	—	2	16	no	—
98	#384	—	2	8	no	—
99	#382	—	2	8	no	—
100	#380	—	2	16	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
102	#340	C₂³	1	8	yes	—
103	#340	C₂³	1	32	yes	—
104	#340	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
114	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
138	#117	—	2	8	no	—
139	#117	—	2	8	no	—
140	#117	—	2	16	no	—
141	#117	—	2	16	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	#117	—	2	8	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	8	no	—
149	#117	—	2	8	no	—
150	#117	—	2	8	no	—
151	#117	—	2	8	no	—
152	#117	—	4	8	no	—
153	#117	—	4	8	no	—
154	#117	C₂×Q₈	1	16	yes	—
155	#117	C₂×Q₈	1	16	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
187	#107	—	2	8	no	—
188	#107	—	2	8	no	—
189	#106	—	2	16	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
192	#95	—	2	32	no	—
193	C₂⁴	—	4	4	no	—
194	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
195	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
207	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
214	C₂²×C₄	#125	1	32	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
233	M₁₆	—	4	8	no	—
234	M₁₆	—	4	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	16	no	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	16	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	4	8	no	—
244	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	32	no	—
254	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	2	16	no	—
263	C₄²	—	2	16	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	4	8	no	—
267	C₄²	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	16	no	—
273	C₂³	#398	1	16	yes	—
274	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	—	2	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	16	no	—
284	C₂×C₄	—	4	16	no	—
285	C₂×C₄	—	4	16	no	—
286	C₂×C₄	—	4	16	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	8	16	no	—
289	C₂×C₄	—	8	16	no	—
290	C₂×C₄	#398	1	16	yes	—
291	C₂×C₄	#398	1	16	yes	—
292	C₂×C₄	#398	1	16	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
312	C₈	—	2	4	no	—
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	4	16	no	—
322	C₂²	C₂×#398	1	4	yes	—
323	C₂²	C₂×#398	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂×#398	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
327	C₂²	#3584	1	4	yes	—
328	C₄	—	4	8	no	—
329	C₄	—	4	16	no	—
330	C₄	—	8	8	no	—
331	C₄	C₂×#398	1	4	yes	—
332	C₄	C₂×#398	1	4	yes	—
333	C₄	C₂×#398	1	4	yes	—
334	C₄	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
335	C₄	C₂²×#125	1	2	yes	—
336	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂	—	2	4	no	—
338	C₂	—	2	4	no	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	C₂²×#398	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#60450	1	2	yes	—
342	C₂	#60489	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #23669	C₂	semidirect
5. #23668	C₂	semidirect
6. #23667	C₂	semidirect
7. #23666	C₂	semidirect
32. #2088	C₂²	semidirect
33. #2087	C₂²	semidirect
34. #2086	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#427	2
C₂²×#424	2
#34052	2
#23669	2
#23668	2
#23667	2
#23666	2
#20347	2
C₂×#1735	2