Subgroups — C₂×#23733 #6432409

Order 512.

3570 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#417	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#23733	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
6	C₂×#2097	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#2092	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#428	—	2	16	no	—
15	C₂×#428	C₂²	1	16	yes	complemented
16	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#417	—	2	16	no	—
19	C₂×#417	C₂²	1	16	yes	—
20	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
22	#2297	—	2	4	no	—
23	#2297	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#386	—	2	2	no	—
27	C₂×#382	—	2	2	no	—
28	C₂×#382	—	2	4	no	—
29	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#382	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
32	C₂²×#95	—	2	2	no	—
33	#2097	C₂²	1	32	yes	complemented
34	#2092	C₂²	1	32	yes	complemented
35	#1728	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×#41	—	2	2	no	—
38	C₂²×#41	—	2	4	no	—
39	C₂²×#41	—	2	8	no	—
40	C₂²×#41	—	2	8	no	—
41	C₂²×#41	Q₈	1	8	yes	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
47	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
48	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
52	C₂²×M₁₆	D₄	1	16	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	—	2	8	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
73	#428	—	2	64	no	—
74	C₂×#107	—	2	16	no	—
75	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
76	C₂×#106	—	2	16	no	—
77	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
78	#417	—	2	64	no	—
79	C₂×#103	—	2	16	no	—
80	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
81	C₂×#102	—	2	16	no	—
82	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
83	#391	—	2	4	no	—
84	#391	C₂³	1	8	yes	—
85	#390	—	2	4	no	—
86	#390	C₂³	1	8	yes	—
87	#386	—	2	16	no	—
88	#382	—	2	8	no	—
89	#382	—	2	16	no	—
90	#382	C₂³	1	16	yes	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₂×#95	—	2	8	no	—
93	C₂×#95	—	2	16	no	—
94	C₂×#95	—	2	4	no	—
95	#336	C₂³	1	16	yes	—
96	C₂⁵	—	2	1	no	—
97	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#41	—	2	16	no	—
99	C₂×#41	—	2	8	no	—
100	C₂×#41	—	2	64	no	—
101	C₂×#41	—	2	16	no	—
102	C₂×#41	—	2	16	no	—
103	C₂×#41	—	4	8	no	—
104	C₂×#41	—	4	32	no	—
105	C₂×#41	—	4	8	no	—
106	C₂×#41	C₂×Q₈	1	16	yes	—
107	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
134	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	32	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
153	#117	—	2	16	no	—
154	#117	—	4	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
181	#107	—	2	32	no	—
182	#106	—	2	32	no	—
183	#103	—	2	32	no	—
184	#102	—	2	32	no	—
185	#95	—	2	32	no	—
186	#95	—	2	16	no	—
187	C₂⁴	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	2	2	no	—
190	C₂⁴	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	8	no	—
193	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
194	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
195	C₂⁴	#127	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	#41	—	2	64	no	—
199	#41	—	4	32	no	—
200	#41	—	4	64	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	16	no	—
211	C₂×D₄	—	2	16	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	32	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
246	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	#123	1	32	yes	—
250	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
266	M₁₆	—	2	64	no	—
267	C₂×C₈	—	2	32	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	8	no	—
270	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
271	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄²	—	2	16	no	—
281	C₄²	—	2	8	no	—
282	C₄²	—	2	8	no	—
283	C₄²	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	2	16	no	—
285	C₂³	—	2	16	no	—
286	C₂³	—	2	16	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	4	16	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	—	8	8	no	—
295	C₂³	—	8	8	no	—
296	C₂³	#399	1	16	yes	—
297	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂×#123	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
303	C₂³	#575	1	8	yes	—
304	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	2	8	no	—
306	Q₈	—	4	8	no	—
307	Q₈	—	4	4	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	4	32	no	—
310	D₄	—	4	8	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	32	no	—
317	C₂×C₄	—	4	16	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	32	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	—	8	32	no	—
327	C₂×C₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	—	8	16	no	—
329	C₂×C₄	#399	1	16	yes	—
330	C₂×C₄	#399	1	32	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#123	1	16	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
345	C₈	—	2	16	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	2	32	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	16	no	—
354	C₂²	—	8	4	no	—
355	C₂²	C₂×#399	1	8	yes	—
356	C₂²	C₂×#399	1	4	yes	—
357	C₂²	#3080	1	8	yes	—
358	C₂²	#3093	1	8	yes	—
359	C₂²	#3153	1	8	yes	—
360	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	—	8	8	no	—
368	C₄	C₂×#399	1	8	yes	—
369	C₄	C₂×#399	1	4	yes	—
370	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
371	C₄	C₂²×#123	1	2	yes	—
372	C₂	—	2	8	no	—
373	C₂	—	8	4	no	—
374	C₂	#23733	1	8	yes	direct product factor
375	C₂	C₂²×#399	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#3080	1	2	yes	—
377	C₂	C₂×#3093	1	2	yes	—
378	C₂	C₂×#3153	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#428	C₂	semidirect
4. C₂²×#382	C₂	semidirect
5. #23733	C₂	direct (N × H)
6. C₂×#2097	C₂	semidirect
7. C₂×#2092	C₂	semidirect
8. C₂×#1728	C₂	semidirect
15. C₂×#428	C₂²	semidirect
30. C₂×#382	C₂²	semidirect
33. #2097	C₂²	semidirect
34. #2092	C₂²	semidirect
35. #1728	C₂²	semidirect
374. C₂	#23733	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#428	2
C₂²×#417	2
C₂×#2297	2
C₂²×#382	2
#23733	2
C₂×#2097	2
C₂×#2092	2
C₂×#1728	2

Subgroups — C2×#23733 #6432409

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#23733 #6432409