Subgroups — #6432440

Order 512.

2274 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#23747	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#23746	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#23745	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23744	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#20347	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20347	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2296	—	2	2	no	—
16	#2296	—	2	2	no	—
17	#2296	C₂²	1	4	yes	—
18	#2296	C₂²	1	2	yes	—
19	#2296	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#385	—	2	2	no	—
22	#2285	—	2	2	no	—
23	#2285	—	2	2	no	—
24	#2285	C₂²	1	4	yes	—
25	#2285	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#380	—	2	2	no	—
29	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
30	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	#2101	C₂²	1	32	yes	complemented
32	#2100	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#2099	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1736	C₂²	1	8	yes	—
35	#1736	C₂²	1	8	yes	—
36	#1736	C₂²	1	8	yes	—
37	#1736	C₂²	1	8	yes	—
38	#1735	C₂²	1	8	yes	—
39	#1735	C₂²	1	8	yes	—
40	#1728	C₂²	1	2	yes	—
41	#1728	C₂²	1	2	yes	—
42	#1728	C₂²	1	4	yes	—
43	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
44	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×#117	—	2	1	no	—
53	C₂×#117	—	2	1	no	—
54	C₂×#117	—	2	4	no	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	—	2	1	no	—
58	C₂×#117	—	2	1	no	—
59	C₂×#117	—	2	8	no	—
60	C₂×#117	—	2	16	no	—
61	C₂×#117	Q₈	1	8	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
77	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
87	#389	—	2	4	no	—
88	#389	—	2	4	no	—
89	#389	C₂³	1	8	yes	—
90	#389	C₂³	1	8	yes	—
91	#385	—	2	4	no	—
92	#385	—	2	8	no	—
93	#385	—	2	4	no	—
94	#384	—	2	4	no	—
95	#384	C₂³	1	4	yes	—
96	#384	C₂³	1	4	yes	—
97	#382	—	2	4	no	—
98	#382	C₂³	1	8	yes	—
99	#380	—	2	8	no	—
100	#380	—	2	8	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×#95	—	2	4	no	—
107	C₂×#95	—	2	4	no	—
108	#340	C₂³	1	32	yes	—
109	#340	C₂³	1	32	yes	—
110	#336	C₂³	1	8	yes	—
111	#336	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
128	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
143	#117	—	2	8	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	8	no	—
148	#117	—	2	8	no	—
149	#117	—	2	16	no	—
150	#117	—	2	16	no	—
151	#117	—	4	4	no	—
152	#117	—	4	4	no	—
153	#117	—	4	8	no	—
154	#117	—	4	8	no	—
155	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
156	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
204	#95	—	2	16	no	—
205	#95	—	2	8	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	C₂⁴	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
209	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
210	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#125	1	32	yes	—
244	C₂²×C₄	#126	1	32	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
263	M₁₆	—	4	16	no	—
264	M₁₆	—	4	16	no	—
265	C₂×C₈	—	2	8	no	—
266	C₂×C₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	4	16	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
279	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₄²	—	2	8	no	—
287	C₄²	—	2	8	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	8	no	—
290	C₄²	—	2	8	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	4	4	no	—
295	C₄²	—	4	4	no	—
296	C₄²	—	4	8	no	—
297	C₄²	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	#400	1	16	yes	—
305	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
306	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
307	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
308	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	—	2	16	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	4	16	no	—
324	C₂×C₄	—	4	16	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	8	8	no	—
332	C₂×C₄	—	8	16	no	—
333	C₂×C₄	#400	1	16	yes	—
334	C₂×C₄	#400	1	16	yes	—
335	C₂×C₄	#400	1	16	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#126	1	8	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#126	1	8	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#126	1	8	yes	—
351	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₈	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	4	16	no	—
367	C₂²	C₂×#400	1	4	yes	—
368	C₂²	C₂×#400	1	4	yes	—
369	C₂²	C₂×#400	1	4	yes	—
370	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
374	C₄	—	2	8	no	—
375	C₄	—	4	8	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	—	8	8	no	—
379	C₄	C₂×#400	1	4	yes	—
380	C₄	C₂×#400	1	4	yes	—
381	C₄	C₂×#400	1	4	yes	—
382	C₄	C₂²×#125	1	2	yes	—
383	C₄	C₂²×#126	1	2	yes	—
384	C₂	—	2	4	no	—
385	C₂	—	2	4	no	—
386	C₂	—	2	4	no	—
387	C₂	C₂²×#400	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#60484	1	2	yes	—
389	C₂	#60511	1	2	yes	—
390	C₂	#60618	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #23747	C₂	semidirect
4. #23746	C₂	semidirect
5. #23745	C₂	semidirect
6. #23744	C₂	semidirect
31. #2101	C₂²	semidirect
32. #2100	C₂²	semidirect
33. #2099	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2296	2
C₂×#2285	2
#23747	2
#23746	2
#23745	2
#23744	2
#20347	2
C₂×#1728	2