Subgroups — #6432609

Order 512.

3162 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#34070	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2328	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#23811	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#23810	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23808	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#23731	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#23430	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#23428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#20365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
18	C₂×#442	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×#440	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	#2328	—	2	4	no	—
27	#2328	C₂²	1	4	yes	—
28	#2328	C₂²	1	4	yes	—
29	#2328	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#2327	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2326	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#2325	—	2	4	no	—
33	#2297	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
35	#2290	—	2	4	no	—
36	C₂×#386	—	2	4	no	—
37	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2097	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#2094	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#2093	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#2092	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#2092	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#2014	C₂²	1	8	yes	—
46	#2013	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#2012	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#2011	C₂²	1	8	yes	—
49	#2011	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1746	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#1746	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#1728	C₂²	1	2	yes	—
53	#1728	C₂²	1	2	yes	—
54	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
58	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
59	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
60	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
61	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	#532	—	2	8	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#127	—	2	8	no	—
67	C₂×#127	—	2	2	no	—
68	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#121	—	2	2	no	—
72	C₄×#41	—	2	16	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
78	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#117	—	2	2	no	—
81	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#442	—	2	32	no	—
90	#440	—	2	32	no	—
91	C₄×SD₁₆	—	2	32	no	—
92	C₄×D₈	—	2	32	no	—
93	#428	—	2	16	no	—
94	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
96	#418	—	2	16	no	—
97	#417	—	2	16	no	—
98	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
102	C₄×M₁₆	D₄	1	16	yes	complemented
103	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#391	C₂³	1	4	yes	—
106	#390	—	2	4	no	—
107	#390	C₂³	1	4	yes	—
108	#390	C₂³	1	4	yes	—
109	#390	C₂³	1	4	yes	—
110	#388	—	2	8	no	—
111	#387	—	2	8	no	—
112	#386	—	2	4	no	—
113	#386	—	2	8	no	—
114	#386	—	2	16	no	—
115	#386	—	2	16	no	—
116	#385	—	2	8	no	—
117	#384	C₂³	1	2	yes	—
118	#382	—	2	2	no	—
119	#382	C₂³	1	2	yes	—
120	#382	C₂³	1	4	yes	—
121	#380	—	2	2	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
124	#376	D₄	1	4	yes	—
125	#376	C₂³	1	2	yes	—
126	#376	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×#95	—	2	2	no	—
128	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
129	#336	C₂³	1	4	yes	—
130	#336	C₂³	1	8	yes	—
131	#336	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂⁵	—	2	2	no	—
133	C₂×#41	—	2	4	no	—
134	C₂×#41	—	2	8	no	—
135	C₂×#41	—	2	8	no	—
136	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
137	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
147	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
148	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
155	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	AGL(1,ℤ/8)	—	2	128	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
164	C₂×D₈	—	2	16	no	—
165	C₂×D₈	—	2	16	no	—
166	C₂×D₈	—	2	16	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
168	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
169	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	#127	—	2	16	no	—
173	#127	—	2	16	no	—
174	#127	—	2	4	no	—
175	#124	—	2	4	no	—
176	#124	—	2	4	no	—
177	#121	—	2	16	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
180	C₄×D₄	—	2	16	no	—
181	C₄×D₄	—	2	16	no	—
182	C₄×D₄	—	2	16	no	—
183	C₄×D₄	—	2	8	no	—
184	C₄×D₄	—	2	8	no	—
185	C₄×D₄	—	4	16	no	—
186	C₄×D₄	—	4	16	no	—
187	#117	—	2	8	no	—
188	#117	—	4	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
218	#107	—	2	16	no	—
219	#106	—	2	16	no	—
220	#103	—	2	16	no	—
221	#102	—	2	16	no	—
222	#102	—	2	16	no	—
223	#102	—	2	16	no	—
224	#97	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
226	#95	—	2	8	no	—
227	#95	—	2	8	no	—
228	#95	—	2	4	no	—
229	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
231	C₂⁴	—	2	8	no	—
232	C₂⁴	—	2	2	no	—
233	C₂⁴	—	2	4	no	—
234	C₂⁴	—	4	8	no	—
235	C₂⁴	—	4	8	no	—
236	C₂⁴	—	4	4	no	—
237	C₂⁴	—	4	4	no	—
238	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	#41	—	2	32	no	—
240	#41	—	4	16	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
244	C₂×Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₂×D₄	—	2	8	no	—
246	C₂×D₄	—	2	8	no	—
247	C₂×D₄	—	2	32	no	—
248	C₂×D₄	—	2	32	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	8	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	8	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	16	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	8	4	no	—
262	C₂×D₄	—	8	16	no	—
263	C₂×D₄	—	8	32	no	—
264	C₂×D₄	C₂×#41	1	4	yes	—
265	C₂×D₄	C₂×#41	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
282	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
283	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
284	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	SD₁₆	—	2	64	no	—
295	D₈	—	2	64	no	—
296	M₁₆	—	2	32	no	—
297	C₂×C₈	—	2	8	no	—
298	C₂×C₈	—	2	8	no	—
299	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	2	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	4	4	no	—
320	C₄²	—	4	8	no	—
321	C₄²	#127	1	8	yes	—
322	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
323	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
324	C₂³	—	2	4	no	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	2	8	no	—
327	C₂³	—	4	32	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	—	4	8	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	16	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	8	8	no	—
337	C₂³	—	8	16	no	—
338	C₂³	—	8	8	no	—
339	C₂³	#525	1	2	yes	—
340	C₂³	#525	1	2	yes	—
341	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
342	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	2	8	no	—
344	Q₈	—	4	4	no	—
345	D₄	—	2	8	no	—
346	D₄	—	2	16	no	—
347	D₄	—	4	16	no	—
348	D₄	—	4	16	no	—
349	D₄	—	4	8	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	8	8	no	—
352	D₄	—	8	32	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	16	no	—
366	C₂×C₄	—	4	8	no	—
367	C₂×C₄	—	4	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	16	no	—
371	C₂×C₄	—	8	32	no	—
372	C₂×C₄	—	8	4	no	—
373	C₂×C₄	—	8	8	no	—
374	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#525	1	16	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#127	1	8	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
382	C₈	—	2	16	no	—
383	C₂²	—	2	4	no	—
384	C₂²	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	4	16	no	—
387	C₂²	—	4	8	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	8	no	—
390	C₂²	—	8	32	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	8	8	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	#2397	1	4	yes	—
397	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#3585	1	4	yes	—
401	C₄	—	2	8	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	4	2	no	—
404	C₄	—	4	2	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	—	8	4	no	—
408	C₄	#2397	1	4	yes	—
409	C₄	C₂×#525	1	4	yes	—
410	C₂	—	2	4	no	—
411	C₂	—	8	4	no	—
412	C₂	—	8	8	no	—
413	C₂	C₂×#2397	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#60564	1	2	yes	—
415	C₂	#60568	1	2	yes	—
416	C₂	#60644	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
2. #34070	C₂	semidirect
3. C₂×#2328	C₂	semidirect
4. #23811	C₂	semidirect
5. #23810	C₂	semidirect
6. #23808	C₂	semidirect
7. #23733	C₂	semidirect
8. #23731	C₂	semidirect
9. #23430	C₂	semidirect
10. #23428	C₂	semidirect
11. #20365	C₂	semidirect
18. C₂×#442	C₂²	semidirect
19. C₂×#440	C₂²	semidirect
20. C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄×D₈	C₂²	semidirect
29. #2328	C₂²	semidirect
30. #2327	C₂²	semidirect
31. #2326	C₂²	semidirect
40. #2097	C₂²	semidirect
41. #2094	C₂²	semidirect
42. #2093	C₂²	semidirect
43. #2092	C₂²	semidirect
44. #2092	C₂²	semidirect
46. #2013	C₂²	semidirect
47. #2012	C₂²	semidirect
49. #2011	C₂²	semidirect
50. #1746	C₂²	semidirect
51. #1746	C₂²	semidirect
102. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
224. #97	C₂×D₄	semidirect
225. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×AGL(1,ℤ/8)	2
#34070	2
C₂×#2328	2
#23811	2
#23810	2
#23808	2
#23733	2
#23731	2
#23430	2
#23428	2
#20365	2