Subgroups — #6432918

Order 512.

4513 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3004	C₂	1	2	yes	maximal
3	#36626	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#29627	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#29624	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23507	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23432	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20682	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3004	—	2	16	no	—
21	C₂×#451	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#448	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#419	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
26	#2855	C₂²	1	4	yes	—
27	#2854	C₂²	1	4	yes	—
28	#2853	—	2	2	no	—
29	#2849	—	2	2	no	—
30	C₄×#123	—	2	4	no	—
31	#2297	C₂²	1	2	yes	—
32	#2296	C₂²	1	2	yes	—
33	#2280	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2043	C₂²	1	32	yes	complemented
35	#2016	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#2013	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#1817	C₂²	1	8	yes	—
38	#1787	C₂²	1	16	yes	—
39	#1728	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
42	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂³×Q₈	—	4	16	no	—
45	C₂³×Q₈	D₄	1	16	yes	—
46	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
49	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#137	—	2	16	no	—
52	C₂×#137	—	4	16	no	—
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
63	#525	—	2	8	no	—
64	C₂×#123	—	2	4	no	—
65	C₂×#123	—	2	1	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#121	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#120	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
77	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	#451	—	2	32	no	—
82	#448	—	2	32	no	—
83	#419	—	2	16	no	—
84	#419	—	4	16	no	—
85	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
86	C₂×#103	C₂³	1	32	yes	—
87	#407	—	2	8	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
89	#391	C₂³	1	4	yes	—
90	#390	C₂³	1	4	yes	—
91	#389	C₂³	1	8	yes	—
92	#388	—	2	8	no	—
93	#387	—	2	8	no	—
94	#386	—	2	4	no	—
95	#386	—	2	4	no	—
96	#385	—	2	4	no	—
97	#385	—	2	4	no	—
98	#381	—	2	4	no	—
99	#381	—	2	1	no	—
100	#380	C₂³	1	4	yes	—
101	#379	—	2	1	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
105	#336	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	8	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
117	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
118	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
119	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
120	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	32	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#137	—	4	64	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
149	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
156	#123	—	4	4	no	—
157	#123	—	4	16	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
159	#121	—	2	8	no	—
160	#120	—	4	4	no	—
161	C₄×D₄	—	4	8	no	—
162	#117	—	2	4	no	—
163	#117	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
187	#103	—	2	32	no	—
188	#103	—	4	32	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
190	#95	—	2	4	no	—
191	#95	—	2	8	no	—
192	#95	—	2	8	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	8	no	—
195	C₂⁴	—	2	1	no	—
196	C₂⁴	#120	1	4	yes	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	#41	—	4	16	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
216	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	#137	1	16	yes	complemented
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
255	Q₁₆	—	4	32	no	—
256	SD₁₆	—	4	32	no	—
257	M₁₆	—	4	16	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	16	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
271	C₄²	—	2	16	no	—
272	C₄²	—	2	8	no	—
273	C₄²	—	2	8	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	2	32	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	16	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	4	1	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#120	1	4	yes	—
287	C₂³	#535	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂×#137	1	8	yes	—
289	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	2	16	no	—
291	Q₈	—	2	16	no	—
292	Q₈	—	4	64	no	—
293	Q₈	—	4	32	no	—
294	Q₈	—	4	16	no	—
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	32	no	—
300	C₂×C₄	—	2	32	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	32	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	16	no	—
307	C₂×C₄	—	2	16	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	4	64	no	—
310	C₂×C₄	—	4	32	no	—
311	C₂×C₄	—	4	16	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#534	1	16	yes	—
322	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#137	1	16	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
326	C₈	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	2	32	no	—
328	C₂²	—	2	8	no	—
329	C₂²	—	2	16	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	8	1	no	—
336	C₂²	#2613	1	4	yes	—
337	C₂²	#3004	1	8	yes	—
338	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂²×#137	1	4	yes	—
341	C₄	—	2	16	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	4	16	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	8	2	no	—
346	C₄	—	8	1	no	—
347	C₄	#2613	1	4	yes	—
348	C₄	C₂×#534	1	4	yes	—
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	—	2	8	no	—
351	C₂	—	16	1	no	—
352	C₂	C₂×#2613	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#3004	1	2	yes	—
354	C₂	#60800	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#525	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
4. #29627	C₂	semidirect
5. #29624	C₂	semidirect
6. #23507	C₂	semidirect
7. #23432	C₂	semidirect
8. #20682	C₂	semidirect
9. #20599	C₂	semidirect
34. #2043	C₂²	semidirect
35. #2016	C₂²	semidirect
36. #2013	C₂²	semidirect
247. C₂²×C₄	#137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂×#3004	2
#36626	2
#29627	2
#29624	2
#23507	2
#23432	2
#20682	2
#20599	2