Subgroups — #6433236

Order 512.

2024 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60518	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#60100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#29791	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#29788	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23674	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#23602	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#2045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20990	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20669	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#535	C₂²	1	2	yes	—
15	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3096	—	2	16	no	—
17	#3094	C₂²	1	16	yes	complemented
18	#3058	—	2	8	no	—
19	C₂×#469	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
22	#2911	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2906	—	2	8	no	—
25	#2905	C₂²	1	2	yes	—
26	#2905	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
32	#2879	C₂²	1	2	yes	—
33	#2090	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#2089	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#2063	C₂²	1	32	yes	complemented
36	#2045	C₂²	1	8	yes	—
37	#2045	C₂²	1	8	yes	—
38	#1900	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#1811	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#1810	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#1742	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
49	#568	—	4	4	no	—
50	C₂×#131	—	2	4	no	—
51	C₂×#131	—	4	4	no	—
52	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#535	—	2	8	no	—
61	#535	—	2	8	no	—
62	C₂×#127	—	2	2	no	—
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×#120	—	2	4	no	—
66	#520	D₄	1	8	yes	—
67	#519	—	2	1	no	—
68	#518	—	2	2	no	—
69	#518	—	2	1	no	—
70	C₄×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	#482	—	2	32	no	—
75	#481	—	2	16	no	—
76	#480	—	2	16	no	—
77	#469	—	2	16	no	—
78	#466	—	2	16	no	—
79	#430	—	4	4	no	—
80	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
81	#428	—	2	8	no	—
82	#428	C₂³	1	16	yes	—
83	#427	—	2	4	no	—
84	#427	—	2	8	no	—
85	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
87	#424	—	2	4	no	—
88	#424	—	2	8	no	—
89	#424	—	2	4	no	—
90	#424	—	2	8	no	—
91	#424	C₂³	1	8	yes	—
92	#424	C₂³	1	4	yes	—
93	#424	C₂³	1	4	yes	—
94	#423	—	2	4	no	—
95	#423	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
98	#418	—	2	8	no	—
99	#418	—	2	8	no	—
100	#418	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂×#102	—	2	8	no	—
102	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×#100	—	4	8	no	—
104	C₂×#100	C₂³	1	16	yes	—
105	#408	—	2	8	no	—
106	#407	C₂³	1	8	yes	—
107	#343	C₂³	1	16	yes	—
108	#341	C₂³	1	4	yes	—
109	#341	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂⁵	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×D₈	—	2	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	16	no	—
132	#131	—	4	16	no	—
133	#131	—	4	16	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
147	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
157	#127	—	4	8	no	—
158	#124	—	4	8	no	—
159	#121	—	2	16	no	—
160	#121	—	2	16	no	—
161	#120	—	4	16	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
163	C₄×D₄	—	2	16	no	—
164	C₄×D₄	—	2	8	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	#108	—	4	8	no	—
185	#107	—	2	4	no	—
186	#107	—	2	16	no	—
187	#106	—	2	4	no	—
188	#106	—	2	16	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	#102	—	2	16	no	—
193	#102	—	2	32	no	—
194	#100	—	4	16	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
196	C₂⁴	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	—	4	4	no	—
198	C₂⁴	—	4	8	no	—
199	C₂⁴	—	16	4	no	—
200	C₂⁴	C₂×#41	1	2	yes	—
201	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	2	8	no	—
203	#41	—	2	8	no	—
204	#41	—	2	16	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	16	8	no	—
220	C₂×D₄	#121	1	8	yes	—
221	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
236	D₈	—	4	8	no	—
237	D₈	—	4	8	no	—
238	M₁₆	—	2	8	no	—
239	M₁₆	—	2	8	no	—
240	M₁₆	—	2	8	no	—
241	M₁₆	—	2	8	no	—
242	M₁₆	—	4	8	no	—
243	M₁₆	—	4	8	no	—
244	M₁₆	—	4	4	no	—
245	M₁₆	—	4	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	8	no	—
253	C₂×C₈	—	4	8	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	8	no	—
256	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
269	C₄²	—	2	8	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	—	8	8	no	—
280	C₂³	—	16	8	no	—
281	C₂³	—	16	16	no	—
282	C₂³	C₂×#121	1	4	yes	—
283	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
284	C₂³	#539	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
286	Q₈	—	2	8	no	—
287	D₄	—	2	16	no	—
288	D₄	—	2	8	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	4	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	D₄	—	16	16	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	8	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#537	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
313	C₈	—	2	2	no	—
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	8	8	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	16	8	no	—
327	C₂²	—	16	16	no	—
328	C₂²	#2618	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#539	1	2	yes	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	4	8	no	—
333	C₄	—	8	4	no	—
334	C₄	#2618	1	4	yes	—
335	C₄	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×#537	1	2	yes	—
338	C₂	—	2	2	no	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	4	4	no	—
341	C₂	—	16	4	no	—
342	C₂	C₂×#2618	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#60471	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3058	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60518	C₂	semidirect
3. #60100	C₂	semidirect
4. #29791	C₂	semidirect
5. #29788	C₂	semidirect
6. #23674	C₂	semidirect
7. #23602	C₂	semidirect
8. C₂×#2045	C₂	semidirect
9. #20990	C₂	semidirect
10. #20669	C₂	semidirect
17. #3094	C₂²	semidirect
26. #2905	C₂²	semidirect
28. C₂×#424	C₂²	semidirect
33. #2090	C₂²	semidirect
34. #2089	C₂²	semidirect
35. #2063	C₂²	semidirect
38. #1900	C₂²	semidirect
39. #1811	C₂²	semidirect
40. #1810	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60518	2
C₂×#3058	2
#60100	2
#29791	2
#29788	2
#23674	2
#23602	2
C₂×#2045	2
#20990	2
#20669	2