Subgroups — #6433746

Order 512.

2202 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34634	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2619	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#30194	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#30192	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23746	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#23628	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#23505	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#23454	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20973	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#20335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	#2629	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#2628	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#2627	—	2	2	no	—
21	#2626	—	2	2	no	—
22	#2619	—	2	4	no	—
23	#2619	C₂²	1	4	yes	—
24	#2619	C₂²	1	4	yes	—
25	#2396	—	2	4	no	—
26	C₂×#394	—	2	2	no	—
27	C₂×#392	—	2	2	no	—
28	#2296	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
30	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2280	C₂²	1	2	yes	—
33	#2101	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#2073	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#2071	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#2041	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#2025	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2023	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#1895	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1893	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1736	C₂²	1	4	yes	—
42	#1736	C₂²	1	4	yes	—
43	#1729	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#1729	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1728	C₂²	1	2	yes	—
46	#1728	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	#533	—	4	4	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	—	4	4	no	—
61	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	—	2	4	no	—
65	C₂×#121	—	2	16	no	—
66	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×#117	—	4	4	no	—
69	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#418	—	4	8	no	—
82	#418	—	4	8	no	—
83	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
85	#400	—	2	4	no	—
86	#399	—	2	4	no	—
87	#398	—	2	8	no	—
88	#396	—	2	8	no	—
89	#395	—	2	4	no	—
90	#394	—	2	8	no	—
91	#394	—	2	8	no	—
92	#393	—	2	4	no	—
93	#392	—	2	8	no	—
94	#392	—	2	8	no	—
95	#390	—	2	4	no	—
96	#390	C₂³	1	4	yes	—
97	#390	C₂³	1	4	yes	—
98	#389	C₂³	1	8	yes	—
99	#385	—	2	4	no	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	#382	—	2	2	no	—
102	#382	C₂³	1	2	yes	—
103	#382	C₂³	1	4	yes	—
104	#381	—	2	2	no	—
105	#380	—	2	2	no	—
106	#380	C₂³	1	8	yes	—
107	#379	—	2	2	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×#95	—	2	2	no	—
112	#340	C₂³	1	16	yes	—
113	#340	C₂³	1	16	yes	—
114	#336	C₂³	1	4	yes	—
115	#336	C₂³	1	4	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂⁵	—	2	2	no	—
118	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
131	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
154	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
155	#127	—	4	4	no	—
156	#127	—	4	4	no	—
157	#127	—	4	8	no	—
158	#125	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
160	#121	—	2	16	no	—
161	#121	—	2	16	no	—
162	#121	—	4	16	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
164	#117	—	2	8	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	4	8	no	—
168	#117	—	4	2	no	—
169	#117	—	4	2	no	—
170	#117	—	4	2	no	—
171	#117	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	#102	—	4	16	no	—
205	#102	—	4	16	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	#95	—	2	8	no	—
208	#95	—	2	4	no	—
209	#95	—	2	8	no	—
210	C₂⁴	—	2	2	no	—
211	C₂⁴	—	2	2	no	—
212	C₂⁴	—	2	4	no	—
213	C₂⁴	—	4	4	no	—
214	C₂⁴	—	4	8	no	—
215	C₂⁴	—	4	8	no	—
216	C₂⁴	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	4	4	no	—
219	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
220	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	8	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	16	no	—
229	C₂×D₄	—	4	16	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	16	no	—
234	C₂×D₄	—	4	16	no	—
235	C₂×D₄	—	8	16	no	—
236	C₂×D₄	—	8	16	no	—
237	C₂×D₄	—	8	32	no	—
238	C₂×D₄	—	8	32	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
272	M₁₆	—	4	16	no	—
273	M₁₆	—	4	16	no	—
274	C₂×C₈	—	2	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	4	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	4	4	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	8	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	8	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	8	4	no	—
317	C₂³	—	8	4	no	—
318	C₂³	—	8	16	no	—
319	C₂³	—	8	8	no	—
320	C₂³	—	8	8	no	—
321	C₂³	—	8	16	no	—
322	C₂³	—	8	8	no	—
323	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
324	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
325	C₂³	#534	1	2	yes	—
326	C₂³	#537	1	2	yes	—
327	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
328	Q₈	—	8	8	no	—
329	D₄	—	4	8	no	—
330	D₄	—	4	8	no	—
331	D₄	—	8	32	no	—
332	D₄	—	8	32	no	—
333	D₄	—	8	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	16	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#538	1	8	yes	—
362	C₂×C₄	#539	1	8	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
367	C₈	—	4	8	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	8	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	8	8	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	8	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	8	no	—
381	C₂²	—	16	16	no	—
382	C₂²	#2639	1	4	yes	—
383	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#3585	1	4	yes	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	—	8	4	no	—
393	C₄	—	8	4	no	—
394	C₄	#2639	1	4	yes	—
395	C₄	C₂×#538	1	2	yes	—
396	C₄	C₂×#539	1	2	yes	—
397	C₂	—	2	4	no	—
398	C₂	—	4	4	no	—
399	C₂	—	16	4	no	—
400	C₂	C₂×#2639	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#60619	1	2	yes	—
402	C₂	#60753	1	2	yes	—
403	C₂	#60920	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#2619	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #34634	C₂	semidirect
3. #30194	C₂	semidirect
4. #30192	C₂	semidirect
5. #23746	C₂	semidirect
6. #23628	C₂	semidirect
7. #23505	C₂	semidirect
8. #23454	C₂	semidirect
9. #20973	C₂	semidirect
10. #20335	C₂	semidirect
18. #2629	C₂²	semidirect
19. #2628	C₂²	semidirect
33. #2101	C₂²	semidirect
34. #2073	C₂²	semidirect
35. #2071	C₂²	semidirect
36. #2041	C₂²	semidirect
37. #2025	C₂²	semidirect
38. #2023	C₂²	semidirect
39. #1895	C₂²	semidirect
40. #1893	C₂²	semidirect
43. #1729	C₂²	semidirect
44. #1729	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34634	2
C₂×#2619	2
#30194	2
#30192	2
#23746	2
#23628	2
#23505	2
#23454	2
#20973	2
#20335	2