Subgroups — #6433825

Order 512.

1942 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36625	C₂	1	2	yes	maximal
2	#30298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#30297	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30296	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30295	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23656	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23551	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20660	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
15	#2857	C₂²	1	4	yes	—
16	#2857	C₂²	1	4	yes	—
17	#2855	—	2	4	no	—
18	#2851	C₂²	1	4	yes	—
19	#2851	C₂²	1	4	yes	—
20	#2848	—	2	4	no	—
21	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
22	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
23	#2296	C₂²	1	4	yes	—
24	#2285	C₂²	1	2	yes	—
25	#2280	C₂²	1	4	yes	—
26	#2085	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#2084	C₂²	1	8	yes	complemented
28	#2083	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#2059	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#2058	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#2057	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1809	C₂²	1	8	yes	—
33	#1809	C₂²	1	8	yes	—
34	#1809	C₂²	1	8	yes	—
35	#1809	C₂²	1	8	yes	—
36	#1735	C₂²	1	8	yes	—
37	#1728	C₂²	1	4	yes	—
38	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1728	C₂²	1	2	yes	—
40	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
46	C₂²×M₁₆	Q₈	1	16	yes	complemented
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
51	#533	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#427	—	4	8	no	—
69	#427	—	4	8	no	—
70	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
74	#391	—	2	4	no	—
75	#391	—	2	4	no	—
76	#389	—	2	4	no	—
77	#389	—	2	4	no	—
78	#389	C₂³	1	8	yes	—
79	#389	C₂³	1	8	yes	—
80	#387	—	2	8	no	—
81	#387	—	2	8	no	—
82	#385	—	2	8	no	—
83	#385	—	2	8	no	—
84	#385	—	2	8	no	—
85	#384	C₂³	1	4	yes	—
86	#382	C₂³	1	4	yes	—
87	#381	—	2	4	no	—
88	#380	—	2	4	no	—
89	#380	—	2	4	no	—
90	#380	—	2	4	no	—
91	#380	C₂³	1	8	yes	—
92	#380	C₂³	1	8	yes	—
93	#379	—	2	4	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
98	#340	C₂³	1	16	yes	—
99	#340	C₂³	1	16	yes	—
100	#336	C₂³	1	4	yes	—
101	#336	C₂³	1	4	yes	—
102	#336	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
137	#125	—	4	8	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
142	#117	—	2	16	no	—
143	#117	—	2	8	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
172	#107	—	4	8	no	—
173	#107	—	4	8	no	—
174	#106	—	4	8	no	—
175	#106	—	4	8	no	—
176	#95	—	2	8	no	—
177	#95	—	2	8	no	—
178	#95	—	2	8	no	—
179	#95	—	2	8	no	—
180	#95	—	2	8	no	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
185	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
218	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
233	M₁₆	—	4	8	no	—
234	M₁₆	—	4	8	no	—
235	M₁₆	—	4	16	no	—
236	C₂×C₈	—	2	32	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
242	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	—	4	4	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	8	no	—
263	C₄²	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
278	C₂³	#534	1	2	yes	—
279	C₂³	#537	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	8	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	16	no	—
300	C₂×C₄	—	4	16	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#543	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	#544	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
320	C₈	—	2	8	no	—
321	C₈	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	4	16	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	#2659	1	4	yes	—
335	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	8	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	8	8	no	—
344	C₄	—	8	8	no	—
345	C₄	#2659	1	4	yes	—
346	C₄	C₂×#543	1	2	yes	—
347	C₄	C₂×#544	1	2	yes	—
348	C₂	—	2	4	no	—
349	C₂	—	4	2	no	—
350	C₂	—	4	2	no	—
351	C₂	C₂×#2659	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#60663	1	2	yes	—
353	C₂	#60741	1	2	yes	—
354	C₂	#60907	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #30298	C₂	semidirect
3. #30297	C₂	semidirect
4. #30296	C₂	semidirect
5. #30295	C₂	semidirect
6. #23656	C₂	semidirect
7. #23551	C₂	semidirect
26. #2085	C₂²	semidirect
27. #2084	C₂²	semidirect
28. #2083	C₂²	semidirect
29. #2059	C₂²	semidirect
30. #2058	C₂²	semidirect
31. #2057	C₂²	semidirect
46. C₂²×M₁₆	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36625	2
#30298	2
#30297	2
#30296	2
#30295	2
#23656	2
#23551	2
#20660	2
C₂×#1728	2