Subgroups — #6435131

Order 512.

2468 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#34633	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#29813	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#29812	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#29811	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#29810	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#23539	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#23386	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#21199	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#525	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3147	—	2	8	no	—
17	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#433	—	2	8	no	—
22	C₂×#433	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#433	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#433	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#416	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2621	C₂²	1	4	yes	—
31	#2620	C₂²	1	8	yes	—
32	#2619	C₂²	1	4	yes	—
33	#2618	—	2	4	no	—
34	#2617	—	2	4	no	—
35	#2392	—	2	8	no	—
36	#2297	C₂²	1	4	yes	—
37	#2285	C₂²	1	2	yes	—
38	#2056	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#2055	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#2054	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#2001	C₂²	1	8	yes	—
42	#2000	C₂²	1	16	yes	—
43	#1999	C₂²	1	8	yes	—
44	#1961	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1960	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1959	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#1835	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#1835	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#1834	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1735	C₂²	1	4	yes	—
51	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#135	—	2	16	no	—
54	C₂×#135	—	4	16	no	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#532	—	2	8	no	—
61	#532	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
65	#525	—	4	16	no	—
66	C₂×#123	—	2	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×#121	—	2	4	no	—
69	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×#120	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂×#117	—	2	4	no	—
74	C₂×#117	—	2	4	no	—
75	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#495	—	2	16	no	—
84	#494	—	2	4	no	—
85	#493	—	2	4	no	—
86	#492	—	2	8	no	—
87	#433	—	2	8	no	—
88	#433	—	2	8	no	—
89	#433	—	2	16	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	#416	—	4	16	no	—
94	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×#97	—	2	4	no	—
100	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#398	—	2	8	no	—
107	#397	—	2	8	no	—
108	#396	—	2	16	no	—
109	#394	—	2	8	no	—
110	#394	—	2	16	no	—
111	#392	—	2	8	no	—
112	#391	C₂³	1	8	yes	—
113	#390	C₂³	1	8	yes	—
114	#386	—	2	8	no	—
115	#384	C₂³	1	4	yes	—
116	#382	C₂³	1	4	yes	—
117	#380	—	2	4	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
120	#340	C₂³	1	8	yes	—
121	#340	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×#41	—	2	8	no	—
124	C₂×#41	—	2	8	no	—
125	C₂×#41	—	2	16	no	—
126	C₂×#41	—	2	16	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	#135	—	4	64	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
148	C₂×D₈	—	2	8	no	—
149	C₂×D₈	—	4	8	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	#127	—	2	4	no	—
160	#127	—	2	4	no	—
161	#124	—	2	8	no	—
162	#124	—	2	8	no	—
163	#123	—	4	16	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
165	#121	—	4	16	no	—
166	#121	—	4	16	no	—
167	#120	—	4	16	no	—
168	C₄×D₄	—	4	32	no	—
169	C₄×D₄	—	4	16	no	—
170	#117	—	2	16	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	2	4	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
203	#103	—	4	16	no	—
204	#102	—	4	16	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
207	#97	—	2	4	no	—
208	#97	—	2	4	no	—
209	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
212	#95	—	2	16	no	—
213	#95	—	2	8	no	—
214	C₂⁴	—	2	2	no	—
215	C₂⁴	—	2	4	no	—
216	C₂⁴	—	2	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	#41	—	4	32	no	—
221	#41	—	4	32	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	8	no	—
229	C₂×D₄	—	2	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	16	no	—
231	C₂×D₄	—	4	8	no	—
232	C₂×D₄	—	4	8	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	8	8	no	—
236	C₂×D₄	—	8	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
264	Q₁₆	—	4	16	no	—
265	SD₁₆	—	4	32	no	—
266	D₈	—	4	16	no	—
267	C₂×C₈	—	2	16	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	—	4	8	no	—
273	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	4	8	no	—
292	C₄²	#121	1	8	yes	—
293	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	8	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	16	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	8	8	no	—
308	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
309	C₂³	#535	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	4	8	no	—
312	Q₈	—	4	8	no	—
313	D₄	—	4	8	no	—
314	D₄	—	4	8	no	—
315	D₄	—	8	16	no	—
316	D₄	—	8	32	no	—
317	D₄	—	8	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	16	no	—
336	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	#540	1	8	yes	—
342	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	2	4	no	—
347	C₈	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	8	8	no	—
354	C₂²	—	8	8	no	—
355	C₂²	—	8	4	no	—
356	C₂²	—	8	8	no	—
357	C₂²	—	8	8	no	—
358	C₂²	#2619	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
361	C₂²	#3584	1	4	yes	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	—	8	8	no	—
368	C₄	#2619	1	4	yes	—
369	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
370	C₄	C₂×#540	1	2	yes	—
371	C₂	—	2	4	no	—
372	C₂	—	8	2	no	—
373	C₂	—	16	4	no	—
374	C₂	C₂×#2619	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#60450	1	2	yes	—
376	C₂	#60797	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3147	C₂	semidirect
2. C₂²×#433	C₂	semidirect
3. #34633	C₂	semidirect
4. #29813	C₂	semidirect
5. #29812	C₂	semidirect
6. #29811	C₂	semidirect
7. #29810	C₂	semidirect
8. #23539	C₂	semidirect
9. #23386	C₂	semidirect
10. #21199	C₂	semidirect
11. #20760	C₂	semidirect
17. C₂×#495	C₂²	semidirect
18. C₂×#494	C₂²	semidirect
19. C₂×#493	C₂²	semidirect
20. C₂×#492	C₂²	semidirect
38. #2056	C₂²	semidirect
39. #2055	C₂²	semidirect
40. #2054	C₂²	semidirect
44. #1961	C₂²	semidirect
45. #1960	C₂²	semidirect
46. #1959	C₂²	semidirect
47. #1835	C₂²	semidirect
48. #1835	C₂²	semidirect
49. #1834	C₂²	semidirect
102. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
C₂²×#433	2
#34633	2
#29813	2
#29812	2
#29811	2
#29810	2
#23539	2
#23386	2
#21199	2
#20760	2