Subgroups — #6435559

Order 512.

2228 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 428 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#490	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#35333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#29855	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#29851	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23612	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23486	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#21325	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#535	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#490	—	2	8	no	—
17	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	—
19	#2923	—	2	8	no	—
20	C₂×#433	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2856	C₂²	1	4	yes	—
30	#2851	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#2629	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#2619	C₂²	1	4	yes	—
33	#2579	—	2	4	no	—
34	#2566	—	2	2	no	—
35	#2565	—	2	2	no	—
36	#2548	—	2	2	no	—
37	#2541	—	2	2	no	—
38	#2408	—	2	4	no	—
39	#2317	C₂²	1	2	yes	—
40	#2311	C₂²	1	2	yes	—
41	#2309	C₂²	1	2	yes	—
42	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#2067	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#2065	C₂²	1	16	yes	complemented
46	#2034	C₂²	1	16	yes	complemented
47	#2033	C₂²	1	16	yes	complemented
48	#1992	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#1991	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1961	C₂²	1	4	yes	—
51	#1957	C₂²	1	4	yes	—
52	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#1736	C₂²	1	4	yes	—
55	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#535	—	4	8	no	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	2	4	no	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	—	2	4	no	—
65	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#125	—	2	2	no	—
68	C₂×#125	—	2	4	no	—
69	C₂×#125	—	2	4	no	—
70	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#124	—	2	2	no	—
73	C₂×#121	—	2	8	no	—
74	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#120	—	2	4	no	—
76	C₄×#41	—	2	4	no	—
77	C₄×#41	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#490	—	2	16	no	—
90	#490	—	2	16	no	—
91	#433	—	2	16	no	—
92	#432	—	2	16	no	—
93	#427	—	4	8	no	—
94	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
96	#424	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
98	#418	—	4	8	no	—
99	C₂×#102	—	2	16	no	—
100	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
103	#408	—	2	8	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
105	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×#97	D₄	1	8	yes	complemented
107	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
111	#398	—	2	8	no	—
112	#396	—	2	8	no	—
113	#394	—	2	8	no	—
114	#392	—	2	8	no	—
115	#391	—	2	2	no	—
116	#390	—	2	2	no	—
117	#390	—	2	4	no	—
118	#390	—	2	8	no	—
119	#390	C₂³	1	8	yes	—
120	#389	C₂³	1	8	yes	—
121	#387	—	2	8	no	—
122	#386	—	2	4	no	—
123	#385	—	2	8	no	—
124	#385	—	2	4	no	—
125	#384	—	2	2	no	—
126	#384	C₂³	1	2	yes	—
127	#384	C₂³	1	2	yes	—
128	#382	—	2	2	no	—
129	#382	C₂³	1	2	yes	—
130	#382	C₂³	1	2	yes	—
131	#380	—	2	2	no	—
132	#380	—	2	2	no	—
133	#380	C₂³	1	8	yes	—
134	#379	—	2	4	no	—
135	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	#340	C₂³	1	16	yes	—
138	C₂⁵	—	2	2	no	—
139	C₂×#41	—	2	2	no	—
140	C₂×#41	—	2	2	no	—
141	C₂×#41	—	2	4	no	—
142	C₂×#41	—	2	4	no	—
143	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
152	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
153	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
154	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
170	#127	—	2	4	no	—
171	#127	—	2	4	no	—
172	#127	—	2	4	no	—
173	#127	—	2	4	no	—
174	#127	—	4	8	no	—
175	#127	—	4	8	no	—
176	#125	—	2	4	no	—
177	#125	—	2	4	no	—
178	#125	—	2	4	no	—
179	#125	—	2	4	no	—
180	#125	—	4	8	no	—
181	#124	—	4	8	no	—
182	#121	—	4	16	no	—
183	#121	—	8	16	no	—
184	#120	—	4	16	no	—
185	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
186	C₄×D₄	—	2	16	no	—
187	C₄×D₄	—	2	8	no	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	#117	—	2	4	no	—
191	#117	—	2	4	no	—
192	#117	—	2	8	no	—
193	#117	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	#107	—	4	8	no	—
227	#106	—	4	8	no	—
228	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
229	#102	—	2	16	no	—
230	#102	—	2	16	no	—
231	#102	—	4	16	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
233	#97	—	2	4	no	—
234	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
235	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
236	C₄×C₈	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	#95	—	2	4	no	—
239	#95	—	2	8	no	—
240	#95	—	2	8	no	—
241	C₂⁴	—	2	4	no	—
242	C₂⁴	—	4	4	no	—
243	C₂⁴	—	4	4	no	—
244	C₂⁴	—	4	4	no	—
245	C₂⁴	—	8	8	no	—
246	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	#41	—	4	8	no	—
249	#41	—	4	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	2	no	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	2	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	8	no	—
262	C₂×D₄	—	2	8	no	—
263	C₂×D₄	—	4	16	no	—
264	C₂×D₄	—	4	16	no	—
265	C₂×D₄	—	4	8	no	—
266	C₂×D₄	—	4	8	no	—
267	C₂×D₄	—	4	4	no	—
268	C₂×D₄	—	4	4	no	—
269	C₂×D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×D₄	—	4	16	no	—
271	C₂×D₄	—	4	16	no	—
272	C₂×D₄	—	8	8	no	—
273	C₂×D₄	—	8	32	no	—
274	C₂×D₄	—	8	16	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
296	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
298	M₁₆	—	4	8	no	—
299	C₂×C₈	—	2	16	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
325	C₄²	—	2	8	no	—
326	C₄²	—	2	2	no	—
327	C₄²	—	2	2	no	—
328	C₄²	—	4	4	no	—
329	C₄²	—	4	4	no	—
330	C₄²	#121	1	8	yes	—
331	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
334	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
335	C₂³	—	2	4	no	—
336	C₂³	—	2	8	no	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	—	2	2	no	—
340	C₂³	—	4	16	no	—
341	C₂³	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	4	4	no	—
343	C₂³	—	4	4	no	—
344	C₂³	—	8	16	no	—
345	C₂³	—	8	8	no	—
346	C₂³	—	16	8	no	—
347	C₂³	—	16	8	no	—
348	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
349	C₂³	#535	1	2	yes	—
350	C₂³	#536	1	2	yes	—
351	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
352	Q₈	—	4	4	no	—
353	D₄	—	4	8	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	8	no	—
356	D₄	—	4	8	no	—
357	D₄	—	8	16	no	—
358	D₄	—	8	16	no	—
359	D₄	—	8	8	no	—
360	D₄	—	16	16	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	8	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	8	no	—
379	C₂×C₄	—	8	8	no	—
380	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#537	1	8	yes	—
386	C₂×C₄	#542	1	8	yes	—
387	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
391	C₈	—	2	8	no	—
392	C₈	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	2	4	no	—
396	C₂²	—	4	4	no	—
397	C₂²	—	4	2	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	4	4	no	—
400	C₂²	—	8	8	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	8	8	no	—
403	C₂²	—	8	8	no	—
404	C₂²	—	16	16	no	—
405	C₂²	#2620	1	4	yes	—
406	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3585	1	4	yes	—
410	C₄	—	2	4	no	—
411	C₄	—	2	4	no	—
412	C₄	—	4	4	no	—
413	C₄	—	4	2	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	—	8	4	no	—
417	C₄	#2620	1	4	yes	—
418	C₄	C₂×#537	1	2	yes	—
419	C₄	C₂×#542	1	2	yes	—
420	C₂	—	2	4	no	—
421	C₂	—	8	2	no	—
422	C₂	—	16	4	no	—
423	C₂	C₂×#2620	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#60454	1	2	yes	—
425	C₂	#60830	1	2	yes	—
426	C₂	#60883	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#35272	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#490	C₂	semidirect
2. C₂×#2923	C₂	semidirect
3. #35333	C₂	semidirect
5. #29855	C₂	semidirect
6. #29851	C₂	semidirect
7. #23612	C₂	semidirect
8. #23486	C₂	semidirect
9. #21325	C₂	semidirect
10. #21203	C₂	semidirect
11. #20799	C₂	semidirect
20. C₂×#433	C₂²	semidirect
21. C₂×#432	C₂²	semidirect
30. #2851	C₂²	semidirect
31. #2629	C₂²	semidirect
44. #2067	C₂²	semidirect
45. #2065	C₂²	semidirect
46. #2034	C₂²	semidirect
47. #2033	C₂²	semidirect
48. #1992	C₂²	semidirect
49. #1991	C₂²	semidirect
52. #1847	C₂²	semidirect
53. #1847	C₂²	semidirect
106. C₂×#97	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#490	2
C₂×#2923	2
#35333	2
#35272	2
#29855	2
#29851	2
#23612	2
#23486	2
#21325	2
#21203	2
#20799	2