Subgroups — #6435560

Order 512.

1968 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#491	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#35316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#29856	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#29852	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23613	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23487	C₂	1	4	yes	maximal
9	#21325	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#491	—	2	8	no	—
17	C₂×#491	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#491	C₂²	1	4	yes	—
19	#2923	—	2	8	no	—
20	C₂×#433	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2857	C₂²	1	4	yes	—
30	#2851	C₂²	1	4	yes	—
31	#2629	C₂²	1	4	yes	—
32	#2621	C₂²	1	4	yes	—
33	#2579	—	2	4	no	—
34	#2566	—	2	2	no	—
35	#2565	—	2	2	no	—
36	#2547	—	2	2	no	—
37	#2546	—	2	2	no	—
38	#2486	—	2	4	no	—
39	#2317	C₂²	1	2	yes	—
40	#2311	C₂²	1	2	yes	—
41	#2310	C₂²	1	2	yes	—
42	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#2068	C₂²	1	16	yes	—
45	#2066	C₂²	1	16	yes	—
46	#2036	C₂²	1	16	yes	—
47	#2035	C₂²	1	16	yes	—
48	#1992	C₂²	1	4	yes	—
49	#1991	C₂²	1	4	yes	—
50	#1960	C₂²	1	4	yes	—
51	#1956	C₂²	1	4	yes	—
52	#1847	C₂²	1	4	yes	—
53	#1847	C₂²	1	4	yes	—
54	#1736	C₂²	1	4	yes	—
55	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	#536	—	4	8	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#125	—	2	2	no	—
67	C₂×#125	—	2	4	no	—
68	C₂×#125	—	2	4	no	—
69	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#124	—	2	2	no	—
72	C₂×#123	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
74	C₄×#41	—	2	4	no	—
75	C₄×#41	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#491	—	2	16	no	—
89	#491	—	2	16	no	—
90	#433	—	2	16	no	—
91	#432	—	2	16	no	—
92	#427	—	4	8	no	—
93	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
95	#424	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
97	#419	—	4	8	no	—
98	C₂×#103	—	2	16	no	—
99	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
102	#408	—	2	8	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
104	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×#97	D₄	1	8	yes	—
106	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	#398	—	2	8	no	—
111	#398	—	2	8	no	—
112	#397	—	2	8	no	—
113	#396	—	2	8	no	—
114	#391	—	2	2	no	—
115	#391	—	2	4	no	—
116	#391	C₂³	1	8	yes	—
117	#390	—	2	2	no	—
118	#389	—	2	8	no	—
119	#389	C₂³	1	8	yes	—
120	#387	—	2	8	no	—
121	#386	—	2	4	no	—
122	#385	—	2	8	no	—
123	#385	—	2	4	no	—
124	#384	—	2	2	no	—
125	#384	C₂³	1	2	yes	—
126	#384	C₂³	1	2	yes	—
127	#382	—	2	2	no	—
128	#382	C₂³	1	2	yes	—
129	#382	C₂³	1	2	yes	—
130	#381	—	2	4	no	—
131	#380	—	2	2	no	—
132	#380	—	2	8	no	—
133	#380	—	2	2	no	—
134	#380	C₂³	1	8	yes	—
135	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	#340	C₂³	1	16	yes	—
138	C₂×#41	—	2	2	no	—
139	C₂×#41	—	2	2	no	—
140	C₂×#41	—	2	4	no	—
141	C₂×#41	—	2	4	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
146	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
147	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	#125	—	2	4	no	—
172	#125	—	2	4	no	—
173	#125	—	2	4	no	—
174	#125	—	2	4	no	—
175	#125	—	4	8	no	—
176	#124	—	4	8	no	—
177	#123	—	4	16	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
180	C₄×D₄	—	2	16	no	—
181	C₄×D₄	—	2	8	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	—	2	8	no	—
187	#117	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	#107	—	4	8	no	—
224	#106	—	4	8	no	—
225	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
226	#103	—	2	16	no	—
227	#103	—	2	16	no	—
228	#103	—	4	16	no	—
229	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
230	#97	—	2	4	no	—
231	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
232	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
233	C₄×C₈	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	4	no	—
235	#95	—	2	4	no	—
236	#95	—	2	16	no	—
237	#95	—	2	8	no	—
238	#95	—	2	8	no	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	4	8	no	—
242	#41	—	4	8	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
277	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
288	M₁₆	—	4	8	no	—
289	C₂×C₈	—	2	16	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
317	C₄²	—	2	8	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	4	4	no	—
321	C₄²	—	4	4	no	—
322	C₄²	#121	1	8	yes	—
323	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
327	C₂³	—	2	4	no	—
328	C₂³	—	2	8	no	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
333	C₂³	#535	1	2	yes	—
334	C₂³	#536	1	2	yes	—
335	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
336	Q₈	—	4	4	no	—
337	Q₈	—	4	8	no	—
338	Q₈	—	4	8	no	—
339	Q₈	—	8	8	no	—
340	D₄	—	4	8	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	8	8	no	—
363	C₂×C₄	—	8	8	no	—
364	C₂×C₄	—	8	8	no	—
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#537	1	8	yes	—
371	C₂×C₄	#542	1	8	yes	—
372	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
376	C₈	—	2	8	no	—
377	C₈	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	4	4	no	—
385	C₂²	#2620	1	4	yes	—
386	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#3586	1	4	yes	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	—	8	4	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	#2620	1	4	yes	—
399	C₄	C₂×#537	1	2	yes	—
400	C₄	C₂×#542	1	2	yes	—
401	C₂	—	2	4	no	—
402	C₂	—	8	2	no	—
403	C₂	C₂×#2620	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#60455	1	2	yes	—
405	C₂	#60831	1	2	yes	—
406	C₂	#60884	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#491	C₂	semidirect
5. #29856	C₂	semidirect
6. #29852	C₂	semidirect
7. #23613	C₂	semidirect
9. #21325	C₂	semidirect
10. #21202	C₂	semidirect
11. #20799	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#491	2
C₂×#2923	2
#35333	2
#35316	2
#29856	2
#29852	2
#23613	2
#23487	2
#21325	2
#21202	2
#20799	2