Subgroups — #6435867

Order 512.

2186 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 429 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#30213	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30212	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#30204	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#30203	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23628	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23454	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#21324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#21203	C₂	1	2	yes	maximal
11	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#124	—	2	2	no	—
16	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	#2868	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#2862	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#2859	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#2859	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#2858	—	2	2	no	—
23	#2858	—	2	2	no	—
24	#2858	C₂²	1	2	yes	—
25	#2858	C₂²	1	2	yes	—
26	#2858	C₂²	1	2	yes	—
27	#2858	C₂²	1	2	yes	—
28	#2857	—	2	2	no	—
29	#2857	—	2	2	no	—
30	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
31	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
32	C₂×#390	—	2	2	no	—
33	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
35	#2285	C₂²	1	2	yes	—
36	#2285	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2073	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#2071	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#2025	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#2023	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#1993	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#1990	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#1961	C₂²	1	8	yes	—
45	#1957	C₂²	1	8	yes	—
46	#1745	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#1745	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#1736	C₂²	1	8	yes	—
51	#1728	C₂²	1	2	yes	—
52	#1728	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
58	#533	—	4	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#127	—	2	1	no	—
68	C₂×#127	—	2	1	no	—
69	C₂×#127	—	2	8	no	—
70	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#124	—	2	4	no	—
74	C₂×#124	—	2	4	no	—
75	C₂×#124	—	2	4	no	—
76	C₂×#124	—	2	4	no	—
77	C₂×#124	—	4	16	no	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#418	—	4	16	no	—
91	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
92	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	4	no	—
97	#390	—	2	4	no	—
98	#390	—	2	4	no	—
99	#390	—	2	4	no	—
100	#390	—	2	4	no	—
101	#390	—	2	4	no	—
102	#390	—	2	4	no	—
103	#390	C₂³	1	4	yes	—
104	#390	C₂³	1	4	yes	—
105	#390	C₂³	1	4	yes	—
106	#390	C₂³	1	4	yes	—
107	#389	—	2	4	no	—
108	#389	—	2	4	no	—
109	#389	—	2	4	no	—
110	#389	—	2	4	no	—
111	#384	—	2	2	no	—
112	#384	—	2	2	no	—
113	#384	C₂³	1	4	yes	—
114	#384	C₂³	1	4	yes	—
115	#382	C₂³	1	4	yes	—
116	#382	C₂³	1	4	yes	—
117	#380	—	2	4	no	—
118	#380	—	2	2	no	—
119	#380	—	2	2	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄³	D₄	1	2	yes	—
124	C₄³	D₄	1	2	yes	—
125	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#340	C₂³	1	32	yes	—
130	#336	C₂³	1	4	yes	—
131	#336	C₂³	1	4	yes	—
132	#336	C₂³	1	4	yes	—
133	#336	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂⁵	—	2	2	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
139	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
149	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
150	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
151	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
170	#127	—	2	8	no	—
171	#127	—	2	8	no	—
172	#127	—	4	4	no	—
173	#127	—	4	4	no	—
174	#125	—	4	8	no	—
175	#124	—	4	16	no	—
176	#124	—	4	16	no	—
177	#124	—	4	16	no	—
178	#124	—	4	16	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
180	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
181	#117	—	2	16	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	#102	—	4	32	no	—
227	#97	—	2	8	no	—
228	C₄×C₈	—	2	8	no	—
229	#95	—	2	8	no	—
230	#95	—	2	4	no	—
231	#95	—	2	4	no	—
232	C₂⁴	—	2	4	no	—
233	C₂⁴	—	4	8	no	—
234	C₂⁴	—	4	8	no	—
235	C₂⁴	—	4	4	no	—
236	C₂⁴	—	4	4	no	—
237	C₂⁴	—	4	4	no	—
238	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
247	C₂×D₄	—	2	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	4	8	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	32	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	8	16	no	—
263	C₂×D₄	—	8	16	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
291	M₁₆	—	4	16	no	—
292	C₂×C₈	—	2	8	no	—
293	C₂×C₈	—	2	8	no	—
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	—	4	2	no	—
324	C₄²	—	4	8	no	—
325	C₄²	#124	1	4	yes	—
326	C₄²	#124	1	4	yes	—
327	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
328	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
329	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	4	8	no	—
336	C₂³	—	4	8	no	—
337	C₂³	—	8	8	no	—
338	C₂³	—	8	8	no	—
339	C₂³	—	8	16	no	—
340	C₂³	—	8	16	no	—
341	C₂³	—	8	8	no	—
342	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
343	C₂³	#535	1	2	yes	—
344	C₂³	#536	1	2	yes	—
345	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	8	16	no	—
347	Q₈	—	8	8	no	—
348	Q₈	—	8	8	no	—
349	D₄	—	4	16	no	—
350	D₄	—	8	8	no	—
351	D₄	—	8	8	no	—
352	D₄	—	8	8	no	—
353	D₄	—	8	8	no	—
354	D₄	—	8	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	8	no	—
362	C₂×C₄	—	2	8	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	8	8	no	—
377	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#542	1	16	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
388	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
389	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
392	C₈	—	4	8	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	8	no	—
399	C₂²	—	8	8	no	—
400	C₂²	—	8	4	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	16	16	no	—
403	C₂²	#2640	1	4	yes	—
404	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
408	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	2	4	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	4	2	no	—
414	C₄	—	4	2	no	—
415	C₄	—	8	8	no	—
416	C₄	—	8	4	no	—
417	C₄	#2640	1	4	yes	—
418	C₄	#3138	1	4	yes	—
419	C₄	#3140	1	4	yes	—
420	C₄	C₂×#542	1	4	yes	—
421	C₂	—	2	4	no	—
422	C₂	—	16	4	no	—
423	C₂	C₂×#2640	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#3138	1	1	yes	characteristic
425	C₂	C₂×#3140	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#60803	1	2	yes	—
427	C₂	#60864	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #36645	C₂	semidirect
3. #30213	C₂	semidirect
4. #30212	C₂	semidirect
5. #30204	C₂	semidirect
6. #30203	C₂	semidirect
7. #23628	C₂	semidirect
8. #23454	C₂	semidirect
9. #21324	C₂	semidirect
11. #20364	C₂	semidirect
18. #2868	C₂²	semidirect
19. #2862	C₂²	semidirect
20. #2859	C₂²	semidirect
21. #2859	C₂²	semidirect
38. #2073	C₂²	semidirect
39. #2071	C₂²	semidirect
40. #2025	C₂²	semidirect
41. #2023	C₂²	semidirect
42. #1993	C₂²	semidirect
43. #1990	C₂²	semidirect
46. #1745	C₂²	semidirect
47. #1745	C₂²	semidirect
48. #1744	C₂²	semidirect
49. #1744	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36645	2
C₂×#2858	2
#30213	2
#30212	2
#30204	2
#30203	2
#23628	2
#23454	2
#21324	2
#21203	2
#20364	2