Subgroups — #6435872

Order 512.

1780 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#30214	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30212	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#30207	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23630	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23453	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21323	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#21201	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	#2862	C₂²	1	2	yes	—
17	#2861	C₂²	1	4	yes	—
18	#2859	—	2	4	no	—
19	#2859	C₂²	1	4	yes	—
20	#2859	C₂²	1	4	yes	—
21	#2858	C₂²	1	2	yes	—
22	#2850	—	2	4	no	—
23	C₄×#124	—	2	4	no	—
24	#2297	C₂²	1	2	yes	—
25	#2297	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#389	—	2	4	no	—
27	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2072	C₂²	1	16	yes	—
31	#2071	C₂²	1	16	yes	—
32	#2026	C₂²	1	16	yes	—
33	#2025	C₂²	1	16	yes	—
34	#1993	C₂²	1	8	yes	—
35	#1991	C₂²	1	8	yes	—
36	#1961	C₂²	1	4	yes	—
37	#1960	C₂²	1	4	yes	—
38	#1958	C₂²	1	8	yes	—
39	#1745	C₂²	1	4	yes	—
40	#1744	C₂²	1	4	yes	—
41	#1736	C₂²	1	8	yes	—
42	#1728	C₂²	1	2	yes	—
43	#1728	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	#533	—	2	8	no	—
47	#532	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#125	—	2	4	no	—
52	C₂×#125	—	4	8	no	—
53	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×#124	—	2	4	no	—
56	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×#121	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#417	—	4	16	no	—
70	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
71	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
72	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
73	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
75	#391	—	2	4	no	—
76	#391	C₂³	1	4	yes	—
77	#391	C₂³	1	4	yes	—
78	#390	—	2	4	no	—
79	#390	C₂³	1	4	yes	—
80	#390	C₂³	1	4	yes	—
81	#389	—	2	8	no	—
82	#389	—	2	8	no	—
83	#389	—	2	8	no	—
84	#389	—	2	8	no	—
85	#388	—	2	8	no	—
86	#388	—	2	8	no	—
87	#386	—	2	4	no	—
88	#386	—	2	4	no	—
89	#384	—	2	2	no	—
90	#384	—	2	2	no	—
91	#384	C₂³	1	8	yes	—
92	#382	—	2	4	no	—
93	#382	—	2	4	no	—
94	#382	C₂³	1	4	yes	—
95	#382	C₂³	1	4	yes	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₂×#95	—	2	4	no	—
99	C₄³	D₄	1	4	yes	—
100	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
102	#340	C₂³	1	32	yes	—
103	#336	C₂³	1	8	yes	—
104	#336	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×#41	—	2	8	no	—
106	C₂×#41	—	2	8	no	—
107	C₂×#41	—	2	8	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
125	#127	—	2	4	no	—
126	#125	—	2	8	no	—
127	#125	—	4	16	no	—
128	#125	—	4	16	no	—
129	#124	—	2	8	no	—
130	#124	—	4	16	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
132	#121	—	4	8	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
134	C₄×D₄	—	4	8	no	—
135	#117	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	#103	—	4	16	no	—
169	#102	—	4	16	no	—
170	#97	—	2	8	no	—
171	C₄×C₈	—	2	8	no	—
172	#95	—	2	8	no	—
173	#95	—	2	8	no	—
174	#95	—	2	8	no	—
175	#95	—	2	8	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
178	#41	—	4	32	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
215	M₁₆	—	4	16	no	—
216	C₂×C₈	—	2	8	no	—
217	C₂×C₈	—	2	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	8	no	—
235	C₄²	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	4	4	no	—
239	C₄²	—	4	4	no	—
240	C₄²	—	4	4	no	—
241	C₄²	#124	1	8	yes	—
242	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	2	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	8	no	—
249	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
250	C₂³	#535	1	2	yes	—
251	C₂³	#536	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
253	Q₈	—	4	8	no	—
254	Q₈	—	8	8	no	—
255	D₄	—	4	8	no	—
256	D₄	—	8	8	no	—
257	D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	16	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	16	no	—
275	C₂×C₄	—	8	16	no	—
276	C₂×C₄	—	8	8	no	—
277	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#542	1	16	yes	—
283	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
287	C₈	—	4	8	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	8	2	no	—
292	C₂²	—	8	4	no	—
293	C₂²	—	8	4	no	—
294	C₂²	—	8	4	no	—
295	C₂²	#2640	1	4	yes	—
296	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
300	C₄	—	2	8	no	—
301	C₄	—	2	4	no	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	4	4	no	—
304	C₄	—	8	2	no	—
305	C₄	—	8	8	no	—
306	C₄	—	8	4	no	—
307	C₄	#2640	1	4	yes	—
308	C₄	C₂×#542	1	4	yes	—
309	C₂	—	2	4	no	—
310	C₂	—	16	2	no	—
311	C₂	C₂×#2640	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#60618	1	2	yes	—
313	C₂	#60802	1	2	yes	—
314	C₂	#60861	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2859	C₂	semidirect
3. #30214	C₂	semidirect
4. #30212	C₂	semidirect
5. #30207	C₂	semidirect
6. #23630	C₂	semidirect
7. #23453	C₂	semidirect
8. #21323	C₂	semidirect
10. #20364	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36639	2
C₂×#2859	2
#30214	2
#30212	2
#30207	2
#23630	2
#23453	2
#21323	2
#21201	2
#20364	2