Subgroups — #6435911

Order 512.

2194 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#30227	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#30220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30219	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#30218	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#23508	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#21200	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#125	—	2	1	no	—
13	C₂×#417	C₂²	1	16	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2859	—	2	1	no	—
18	#2859	—	2	2	no	—
19	#2859	—	2	1	no	—
20	#2859	C₂²	1	2	yes	—
21	#2859	C₂²	1	2	yes	—
22	#2859	C₂²	1	4	yes	—
23	#2858	C₂²	1	2	yes	—
24	#2858	C₂²	1	4	yes	—
25	#2856	—	2	1	no	—
26	#2856	—	2	1	no	—
27	#2856	—	2	2	no	—
28	C₄×#127	—	2	2	no	—
29	C₄×#127	—	2	1	no	—
30	C₄×#127	—	2	1	no	—
31	C₂×#389	—	2	2	no	—
32	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#382	—	2	1	no	—
35	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2043	C₂²	1	16	yes	—
37	#2042	C₂²	1	32	yes	—
38	#2041	C₂²	1	16	yes	—
39	#1959	C₂²	1	16	yes	—
40	#1957	C₂²	1	8	yes	—
41	#1956	C₂²	1	8	yes	—
42	#1745	C₂²	1	4	yes	—
43	#1744	C₂²	1	2	yes	—
44	#1744	C₂²	1	2	yes	—
45	#1728	C₂²	1	4	yes	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	#532	—	2	16	no	—
49	#532	—	4	16	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×#127	—	2	2	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#125	—	2	2	no	—
58	C₂×#125	—	2	4	no	—
59	C₂×#125	—	2	2	no	—
60	C₂×#125	—	4	8	no	—
61	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×#121	—	2	4	no	—
64	C₂×#121	—	2	4	no	—
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×#121	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#417	—	4	32	no	—
81	C₂×#103	C₂³	1	32	yes	—
82	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
83	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
84	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	—	2	4	no	—
88	#390	—	2	2	no	—
89	#390	—	2	4	no	—
90	#390	—	2	4	no	—
91	#390	—	2	4	no	—
92	#390	—	2	4	no	—
93	#389	—	2	4	no	—
94	#389	—	2	4	no	—
95	#389	—	2	4	no	—
96	#389	—	2	4	no	—
97	#389	—	2	4	no	—
98	#389	—	2	4	no	—
99	#389	C₂³	1	8	yes	—
100	#389	C₂³	1	8	yes	—
101	#384	—	2	2	no	—
102	#384	—	2	1	no	—
103	#384	—	2	1	no	—
104	#384	—	2	2	no	—
105	#384	—	2	2	no	—
106	#384	C₂³	1	4	yes	—
107	#384	C₂³	1	4	yes	—
108	#382	—	2	2	no	—
109	#382	—	2	4	no	—
110	#382	—	2	2	no	—
111	C₂×#95	—	2	4	no	—
112	C₄³	D₄	1	2	yes	—
113	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
117	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#336	C₂³	1	8	yes	—
119	#336	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×#41	—	2	16	no	—
121	C₂×#41	—	2	32	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
141	#127	—	2	8	no	—
142	#127	—	4	8	no	—
143	#127	—	4	8	no	—
144	#127	—	4	4	no	—
145	#127	—	4	4	no	—
146	#125	—	4	16	no	—
147	#125	—	4	8	no	—
148	#125	—	4	8	no	—
149	#124	—	2	16	no	—
150	#124	—	4	16	no	—
151	#121	—	4	16	no	—
152	#121	—	4	16	no	—
153	#121	—	4	8	no	—
154	#121	—	4	8	no	—
155	C₄×D₄	—	4	16	no	—
156	C₄×D₄	—	4	16	no	—
157	C₄×D₄	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	#103	—	4	32	no	—
203	#102	—	4	32	no	—
204	#97	—	2	8	no	—
205	C₄×C₈	—	2	8	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	#95	—	2	8	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	4	64	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	16	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	16	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
258	M₁₆	—	4	16	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	16	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	—	4	2	no	—
289	C₄²	#124	1	4	yes	—
290	C₄²	#124	1	4	yes	—
291	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
292	C₄²	#137	1	4	yes	—
293	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
294	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
295	C₂³	—	2	1	no	—
296	C₂³	—	2	1	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	8	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
304	C₂³	#535	1	4	yes	—
305	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	4	16	no	—
307	D₄	—	4	16	no	—
308	D₄	—	8	16	no	—
309	D₄	—	8	16	no	—
310	D₄	—	8	16	no	—
311	D₄	—	8	8	no	—
312	D₄	—	8	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	8	16	no	—
336	C₂×C₄	—	8	16	no	—
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#540	1	16	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
351	C₈	—	4	8	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	8	8	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	#2641	1	4	yes	—
362	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	8	4	no	—
374	C₄	—	8	8	no	—
375	C₄	#2641	1	4	yes	—
376	C₄	#3141	1	4	yes	—
377	C₄	#3142	1	4	yes	—
378	C₄	C₂×#540	1	4	yes	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	16	4	no	—
381	C₂	C₂×#2641	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#3141	1	1	yes	characteristic
383	C₂	C₂×#3142	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#60803	1	2	yes	—
385	C₂	#60804	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2859	C₂	semidirect
3. #30227	C₂	semidirect
4. #30220	C₂	semidirect
5. #30219	C₂	semidirect
6. #30218	C₂	semidirect
7. #23508	C₂	semidirect
8. #21200	C₂	semidirect
9. #20364	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
C₂×#2859	2
#30227	2
#30220	2
#30219	2
#30218	2
#23508	2
#21200	2
#20364	2