Subgroups — #6435944

Order 512.

3988 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3151	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3138	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#36639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#30265	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#30259	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#30258	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23430	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	—	2	4	no	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#127	C₂²	1	4	yes	—
16	#3151	—	2	16	no	—
17	C₂×#496	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#3138	—	2	16	no	—
21	C₂×#490	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#486	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	#2867	—	2	4	no	—
26	#2867	C₂²	1	4	yes	—
27	#2867	C₂²	1	4	yes	—
28	#2862	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#2861	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#2858	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2850	—	2	4	no	—
32	C₄×#124	—	2	4	no	—
33	#2297	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2014	C₂²	1	32	yes	complemented
36	#2011	C₂²	1	32	yes	complemented
37	#1745	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#1744	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1728	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
46	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	16	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	#533	—	2	8	no	—
50	#532	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	—	2	8	no	—
54	C₂×#127	—	2	8	no	—
55	C₂×#127	—	2	8	no	—
56	C₂×#127	—	2	4	no	—
57	C₂×#127	—	2	16	no	—
58	C₂×#127	—	2	8	no	—
59	C₂×#127	—	2	8	no	—
60	C₂×#127	—	4	16	no	—
61	C₂×#127	—	4	32	no	—
62	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	16	yes	—
66	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#124	—	2	4	no	—
68	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×#121	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#496	—	2	32	no	—
78	#493	—	2	16	no	—
79	#492	—	2	16	no	—
80	#490	—	2	32	no	—
81	#486	—	2	32	no	—
82	#418	—	2	32	no	—
83	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
84	C₄×M₁₆	D₄	1	16	yes	complemented
85	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
87	#391	—	2	4	no	—
88	#391	C₂³	1	8	yes	—
89	#390	—	2	4	no	—
90	#390	C₂³	1	8	yes	—
91	#388	—	2	16	no	—
92	#386	—	2	8	no	—
93	#382	—	2	4	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
95	C₄³	D₄	1	4	yes	—
96	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
97	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
98	#336	C₂³	1	16	yes	—
99	C₂⁵	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	8	no	—
101	C₂×#41	—	2	16	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
117	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	AGL(1,ℤ/8)	—	4	128	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
126	C₂×D₈	—	2	32	no	—
127	C₂×D₈	—	4	32	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	#127	—	2	8	no	—
134	#127	—	2	8	no	—
135	#127	—	2	8	no	—
136	#127	—	2	8	no	—
137	#127	—	2	4	no	—
138	#127	—	4	32	no	—
139	#127	—	4	32	no	—
140	#127	—	4	64	no	—
141	#127	—	4	32	no	—
142	#127	—	4	16	no	—
143	#127	—	4	32	no	—
144	#125	—	2	8	no	—
145	#124	—	2	8	no	—
146	#124	—	4	16	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
148	#121	—	4	8	no	—
149	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
150	C₄×D₄	—	4	8	no	—
151	#117	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	#102	—	2	64	no	—
172	#97	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
173	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
174	#95	—	2	16	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	8	no	—
177	C₂⁴	—	4	32	no	—
178	C₂⁴	—	4	8	no	—
179	C₂⁴	—	4	16	no	—
180	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	#41	—	4	32	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	8	no	—
189	C₂×D₄	—	2	32	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	64	no	—
192	C₂×D₄	—	4	64	no	—
193	C₂×D₄	—	4	32	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	4	16	no	—
199	C₂×D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×D₄	—	4	32	no	—
201	C₂×D₄	—	4	32	no	—
202	C₂×D₄	—	4	16	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	64	no	—
205	C₂×D₄	—	4	32	no	—
206	C₂×D₄	—	8	128	no	—
207	C₂×D₄	—	8	64	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
223	SD₁₆	—	4	64	no	—
224	D₈	—	4	64	no	—
225	M₁₆	—	2	32	no	—
226	C₂×C₈	—	2	16	no	—
227	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
235	C₄²	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	16	no	—
237	C₄²	—	2	8	no	—
238	C₄²	—	2	8	no	—
239	C₄²	—	4	4	no	—
240	C₄²	#127	1	8	yes	—
241	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	16	yes	complemented
242	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	8	no	—
247	C₂³	—	4	4	no	—
248	C₂³	—	4	16	no	—
249	C₂³	—	4	8	no	—
250	C₂³	—	4	32	no	—
251	C₂³	—	8	64	no	—
252	C₂³	—	8	32	no	—
253	C₂³	—	8	16	no	—
254	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
255	C₂³	#535	1	4	yes	—
256	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
257	Q₈	—	4	8	no	—
258	Q₈	—	8	8	no	—
259	D₄	—	4	8	no	—
260	D₄	—	4	16	no	—
261	D₄	—	4	16	no	—
262	D₄	—	8	128	no	—
263	D₄	—	8	32	no	—
264	D₄	—	8	8	no	—
265	D₄	—	8	8	no	—
266	D₄	—	8	32	no	—
267	D₄	—	8	16	no	—
268	C₂×C₄	—	2	32	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	16	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	8	8	no	—
278	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#535	1	16	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	16	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
285	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
287	C₈	—	2	16	no	—
288	C₂²	—	2	8	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	8	2	no	—
291	C₂²	—	8	8	no	—
292	C₂²	—	8	32	no	—
293	C₂²	—	8	8	no	—
294	C₂²	—	8	16	no	—
295	C₂²	—	8	4	no	—
296	C₂²	—	16	32	no	—
297	C₂²	#2657	1	4	yes	—
298	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
301	C₄	—	2	16	no	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	8	2	no	—
304	C₄	—	8	4	no	—
305	C₄	#2657	1	4	yes	—
306	C₄	#3151	1	8	yes	—
307	C₄	C₂×#535	1	4	yes	—
308	C₂	—	2	4	no	—
309	C₂	—	16	2	no	—
310	C₂	—	16	8	no	—
311	C₂	C₂×#2657	1	1	yes	characteristic
312	C₂	C₂×#3151	1	2	yes	—
313	C₂	#60798	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3151	C₂	semidirect
2. C₂×#3138	C₂	semidirect
3. C₂×#2867	C₂	semidirect
4. #36639	C₂	semidirect
5. #30265	C₂	semidirect
6. #30259	C₂	semidirect
7. #30258	C₂	semidirect
8. #23430	C₂	semidirect
9. #20364	C₂	semidirect
17. C₂×#496	C₂²	semidirect
18. C₂×#493	C₂²	semidirect
19. C₂×#492	C₂²	semidirect
21. C₂×#490	C₂²	semidirect
22. C₂×#486	C₂²	semidirect
28. #2862	C₂²	semidirect
29. #2861	C₂²	semidirect
30. #2858	C₂²	semidirect
35. #2014	C₂²	semidirect
36. #2011	C₂²	semidirect
37. #1745	C₂²	semidirect
38. #1744	C₂²	semidirect
84. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
172. #97	C₂×D₄	semidirect
173. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
241. C₄²	AGL(1,ℤ/8)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3151	2
C₂×#3138	2
C₂×#2867	2
#36639	2
#30265	2
#30259	2
#30258	2
#23430	2
#20364	2