Subgroups — #6435958

Order 512.

3276 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#35285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#35274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#30270	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#30260	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#30258	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#23422	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#535	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#3151	—	2	8	no	—
20	C₂×#496	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#493	—	2	8	no	—
22	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#3138	—	2	8	no	—
27	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#3131	—	2	8	no	—
29	C₂×#488	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2867	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#2858	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#2858	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#2657	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#2641	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#2548	—	2	4	no	—
43	#2541	—	2	4	no	—
44	#2435	—	2	4	no	—
45	#2433	—	2	4	no	—
46	#2309	C₂²	1	4	yes	—
47	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#2012	C₂²	1	32	yes	complemented
49	#2011	C₂²	1	32	yes	complemented
50	#1746	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#1744	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#1729	C₂²	1	4	yes	—
53	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
59	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
60	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
62	C₂²×D₈	—	4	16	no	—
63	C₂²×D₈	C₂³	1	16	yes	—
64	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	#535	—	4	16	no	—
68	#533	—	2	4	no	—
69	#533	—	2	4	no	—
70	#532	—	2	4	no	—
71	#532	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#127	—	2	4	no	—
75	C₂×#127	—	2	4	no	—
76	C₂×#127	—	2	4	no	—
77	C₂×#127	—	2	4	no	—
78	C₂×#127	—	2	2	no	—
79	C₂×#127	—	2	2	no	—
80	C₂×#127	—	2	8	no	—
81	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#124	—	2	8	no	—
89	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂×#121	—	2	2	no	—
93	C₂×#121	—	2	8	no	—
94	C₂×#120	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#496	—	2	16	no	—
101	#493	—	2	16	no	—
102	#493	—	2	16	no	—
103	#493	—	2	8	no	—
104	#492	—	2	8	no	—
105	#490	—	2	16	no	—
106	#488	—	2	16	no	—
107	#487	—	2	8	no	—
108	#486	—	2	8	no	—
109	#486	—	2	16	no	—
110	#418	—	2	16	no	—
111	#416	—	2	16	no	—
112	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
115	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
116	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
121	#394	—	2	16	no	—
122	#392	—	2	16	no	—
123	#390	—	2	8	no	—
124	#390	—	2	8	no	—
125	#390	—	2	8	no	—
126	#390	C₂³	1	16	yes	—
127	#379	—	2	8	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
129	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
130	#376	C₂³	1	2	yes	—
131	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
132	#336	C₂³	1	16	yes	—
133	C₂⁵	—	2	2	no	—
134	C₂⁵	—	2	2	no	—
135	C₂×#41	—	2	4	no	—
136	C₂×#41	—	2	4	no	—
137	C₂×#41	—	2	16	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
151	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
154	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
155	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
157	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
158	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
159	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	AGL(1,ℤ/8)	—	4	64	no	—
166	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
167	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
168	C₂×D₈	—	2	32	no	—
169	C₂×D₈	—	2	16	no	—
170	C₂×D₈	—	4	32	no	—
171	C₂×D₈	—	4	16	no	—
172	C₂×D₈	—	4	64	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
174	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
183	#127	—	2	4	no	—
184	#127	—	2	4	no	—
185	#127	—	2	4	no	—
186	#127	—	2	4	no	—
187	#127	—	2	4	no	—
188	#127	—	2	4	no	—
189	#127	—	2	4	no	—
190	#127	—	2	4	no	—
191	#127	—	2	2	no	—
192	#127	—	2	2	no	—
193	#127	—	4	16	no	—
194	#127	—	4	8	no	—
195	#127	—	4	8	no	—
196	#127	—	8	16	no	—
197	#125	—	2	4	no	—
198	#125	—	2	4	no	—
199	#124	—	2	4	no	—
200	#124	—	2	4	no	—
201	#124	—	4	16	no	—
202	#124	—	8	16	no	—
203	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
204	#121	—	4	32	no	—
205	#121	—	4	8	no	—
206	#120	—	4	32	no	—
207	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
208	C₄×D₄	—	4	8	no	—
209	#117	—	2	8	no	—
210	#117	—	2	4	no	—
211	#117	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	#103	—	2	16	no	—
231	#102	—	2	16	no	—
232	#102	—	2	32	no	—
233	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
235	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
236	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
237	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
238	C₂⁴	—	2	4	no	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	—	2	2	no	—
241	C₂⁴	—	4	4	no	—
242	C₂⁴	—	4	4	no	—
243	C₂⁴	—	4	8	no	—
244	C₂⁴	—	4	8	no	—
245	C₂⁴	—	8	8	no	—
246	C₂⁴	—	8	8	no	—
247	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	#41	—	4	16	no	—
249	#41	—	4	16	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	16	no	—
262	C₂×D₄	—	2	8	no	—
263	C₂×D₄	—	2	16	no	—
264	C₂×D₄	—	4	32	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	8	no	—
267	C₂×D₄	—	4	4	no	—
268	C₂×D₄	—	4	8	no	—
269	C₂×D₄	—	4	8	no	—
270	C₂×D₄	—	4	8	no	—
271	C₂×D₄	—	4	8	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	16	no	—
275	C₂×D₄	—	4	16	no	—
276	C₂×D₄	—	4	16	no	—
277	C₂×D₄	—	4	16	no	—
278	C₂×D₄	—	4	8	no	—
279	C₂×D₄	—	4	8	no	—
280	C₂×D₄	—	4	16	no	—
281	C₂×D₄	—	4	8	no	—
282	C₂×D₄	—	4	16	no	—
283	C₂×D₄	—	8	8	no	—
284	C₂×D₄	—	8	8	no	—
285	C₂×D₄	—	8	32	no	—
286	C₂×D₄	—	8	32	no	—
287	C₂×D₄	—	8	32	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
302	SD₁₆	—	4	32	no	—
303	D₈	—	4	64	no	—
304	D₈	—	4	32	no	—
305	M₁₆	—	2	16	no	—
306	C₂×C₈	—	2	16	no	—
307	C₂×C₈	—	2	8	no	—
308	C₂×C₈	—	2	8	no	—
309	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
310	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
311	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
322	C₄²	—	2	16	no	—
323	C₄²	—	2	8	no	—
324	C₄²	—	4	4	no	—
325	C₄²	#127	1	8	yes	—
326	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
328	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₂³	—	2	4	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	4	8	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	8	no	—
337	C₂³	—	4	16	no	—
338	C₂³	—	4	8	no	—
339	C₂³	—	4	16	no	—
340	C₂³	—	8	16	no	—
341	C₂³	—	8	16	no	—
342	C₂³	—	8	8	no	—
343	C₂³	—	8	8	no	—
344	C₂³	—	16	16	no	—
345	C₂³	—	16	16	no	—
346	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
347	C₂³	#535	1	4	yes	—
348	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
349	Q₈	—	4	4	no	—
350	Q₈	—	4	4	no	—
351	Q₈	—	8	8	no	—
352	D₄	—	4	8	no	—
353	D₄	—	4	8	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	8	no	—
356	D₄	—	4	8	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	8	16	no	—
359	D₄	—	8	16	no	—
360	D₄	—	8	8	no	—
361	D₄	—	8	8	no	—
362	D₄	—	8	16	no	—
363	D₄	—	8	16	no	—
364	D₄	—	8	8	no	—
365	D₄	—	8	8	no	—
366	D₄	—	16	32	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	16	no	—
369	C₂×C₄	—	2	8	no	—
370	C₂×C₄	—	2	16	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	8	8	no	—
376	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
381	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
382	C₂×C₄	#576	1	8	yes	—
383	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
386	C₈	—	2	8	no	—
387	C₈	—	2	8	no	—
388	C₂²	—	2	8	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	—	8	8	no	—
394	C₂²	—	8	16	no	—
395	C₂²	—	8	16	no	—
396	C₂²	—	8	8	no	—
397	C₂²	—	8	8	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	16	16	no	—
400	C₂²	—	16	16	no	—
401	C₂²	#2657	1	4	yes	—
402	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
404	C₂²	C₂×#576	1	4	yes	—
405	C₄	—	2	4	no	—
406	C₄	—	4	8	no	—
407	C₄	—	8	2	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	#2657	1	4	yes	—
410	C₄	#3155	1	8	yes	—
411	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
412	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
413	C₂	—	2	4	no	—
414	C₂	—	16	2	no	—
415	C₂	—	16	4	no	—
416	C₂	—	16	4	no	—
417	C₂	C₂×#2657	1	1	yes	characteristic
418	C₂	C₂×#3155	1	2	yes	—
419	C₂	#60817	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3151	C₂	semidirect
2. C₂²×#493	C₂	semidirect
3. C₂×#3138	C₂	semidirect
4. C₂×#3131	C₂	semidirect
5. #35285	C₂	semidirect
6. #35274	C₂	semidirect
7. #30270	C₂	semidirect
8. #30260	C₂	semidirect
9. #30258	C₂	semidirect
10. #23422	C₂	semidirect
11. #20366	C₂	semidirect
20. C₂×#496	C₂²	semidirect
24. C₂×#493	C₂²	semidirect
25. C₂×#492	C₂²	semidirect
27. C₂×#490	C₂²	semidirect
29. C₂×#488	C₂²	semidirect
30. C₂×#487	C₂²	semidirect
31. C₂×#486	C₂²	semidirect
32. C₂×#486	C₂²	semidirect
37. #2867	C₂²	semidirect
38. #2858	C₂²	semidirect
39. #2858	C₂²	semidirect
40. #2657	C₂²	semidirect
41. #2641	C₂²	semidirect
48. #2012	C₂²	semidirect
49. #2011	C₂²	semidirect
50. #1746	C₂²	semidirect
51. #1744	C₂²	semidirect
115. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
117. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3151	2
C₂²×#493	2
C₂×#3138	2
C₂×#3131	2
#35285	2
#35274	2
#30270	2
#30260	2
#30258	2
#23422	2
#20366	2