Subgroups — #6436001

Order 512.

1886 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#36640	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#30309	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#30305	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#30304	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23658	C₂	1	4	yes	maximal
7	#23552	C₂	1	4	yes	maximal
8	#20800	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20764	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	#2868	—	2	2	no	—
16	#2868	—	2	2	no	—
17	#2868	C₂²	1	4	yes	—
18	#2868	C₂²	1	4	yes	—
19	#2864	C₂²	1	4	yes	—
20	#2859	C₂²	1	2	yes	—
21	#2859	C₂²	1	2	yes	—
22	#2851	—	2	2	no	—
23	#2851	—	2	2	no	—
24	C₄×#125	—	2	2	no	—
25	C₄×#125	—	2	2	no	—
26	#2296	C₂²	1	2	yes	—
27	#2296	C₂²	1	2	yes	—
28	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#384	—	2	2	no	—
31	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2084	C₂²	1	16	yes	—
35	#2083	C₂²	1	16	yes	—
36	#2058	C₂²	1	16	yes	—
37	#2057	C₂²	1	16	yes	—
38	#1847	C₂²	1	8	yes	—
39	#1845	C₂²	1	4	yes	—
40	#1844	C₂²	1	4	yes	—
41	#1836	C₂²	1	8	yes	—
42	#1834	C₂²	1	8	yes	—
43	#1745	C₂²	1	4	yes	—
44	#1744	C₂²	1	4	yes	—
45	#1736	C₂²	1	8	yes	—
46	#1728	C₂²	1	2	yes	—
47	#1728	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×#125	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#428	—	4	16	no	—
72	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
73	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
74	C₄×M₁₆	Q₈	1	16	yes	complemented
75	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
77	#389	—	2	2	no	—
78	#389	—	2	2	no	—
79	#389	—	2	2	no	—
80	#389	—	2	2	no	—
81	#389	C₂³	1	4	yes	—
82	#389	C₂³	1	4	yes	—
83	#389	C₂³	1	4	yes	—
84	#389	C₂³	1	4	yes	—
85	#387	—	2	4	no	—
86	#387	—	2	4	no	—
87	#387	—	2	4	no	—
88	#387	—	2	4	no	—
89	#385	—	2	2	no	—
90	#385	—	2	4	no	—
91	#385	—	2	2	no	—
92	#384	—	2	2	no	—
93	#384	—	2	2	no	—
94	#384	—	2	4	no	—
95	#384	—	2	4	no	—
96	#384	—	2	4	no	—
97	#384	—	2	4	no	—
98	#384	—	2	4	no	—
99	#384	C₂³	1	8	yes	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	#384	C₂³	1	4	yes	—
102	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#384	C₂³	1	4	yes	—
105	#382	—	2	2	no	—
106	#382	—	2	2	no	—
107	#382	C₂³	1	2	yes	—
108	#382	C₂³	1	2	yes	—
109	#380	—	2	2	no	—
110	#380	—	2	2	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₄³	D₄	1	2	yes	—
117	C₄³	D₄	1	2	yes	—
118	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
119	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
120	#340	C₂³	1	32	yes	—
121	#336	C₂³	1	8	yes	—
122	#336	C₂³	1	8	yes	—
123	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
136	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
142	#125	—	4	8	no	—
143	#125	—	4	8	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	#117	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	#107	—	4	16	no	—
194	#106	—	4	16	no	—
195	#97	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
196	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
197	#95	—	2	4	no	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	#95	—	2	4	no	—
201	#95	—	2	4	no	—
202	#95	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
235	M₁₆	—	2	32	no	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	4	4	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₄²	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
273	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
274	C₄²	#137	1	8	yes	—
275	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
276	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
280	C₂³	#535	1	2	yes	—
281	C₂³	#536	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	8	32	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	16	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	16	no	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#544	1	16	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
323	C₈	—	2	16	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	#2660	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂²×#137	1	2	yes	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	8	2	no	—
340	C₄	—	8	8	no	—
341	C₄	—	8	2	no	—
342	C₄	—	8	4	no	—
343	C₄	#2660	1	4	yes	—
344	C₄	#3165	1	8	yes	—
345	C₄	C₂×#544	1	4	yes	—
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	C₂×#2660	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂×#3165	1	2	yes	—
349	C₂	#60798	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#60800	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#60860	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #30309	C₂	semidirect
4. #30305	C₂	semidirect
5. #30304	C₂	semidirect
74. C₄×M₁₆	Q₈	semidirect
195. #97	C₂×Q₈	semidirect
196. C₄×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2868	2
#36640	2
#30309	2
#30305	2
#30304	2
#23658	2
#23552	2
#20800	2
#20764	2
#20364	2