Subgroups — #6436003

Order 512.

1646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36640	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#30310	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#30306	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#23659	C₂	1	4	yes	maximal
6	#23552	C₂	1	4	yes	maximal
7	#20801	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20765	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#2864	C₂²	1	4	yes	—
14	#2862	—	2	4	no	—
15	#2862	C₂²	1	4	yes	—
16	#2862	C₂²	1	4	yes	—
17	#2859	C₂²	1	4	yes	—
18	#2851	—	2	4	no	—
19	C₄×#125	—	2	4	no	—
20	#2296	C₂²	1	2	yes	—
21	#2296	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#391	—	2	4	no	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2085	C₂²	1	32	yes	—
29	#2058	C₂²	1	16	yes	—
30	#2057	C₂²	1	16	yes	—
31	#1847	C₂²	1	8	yes	—
32	#1846	C₂²	1	8	yes	—
33	#1836	C₂²	1	8	yes	—
34	#1835	C₂²	1	8	yes	—
35	#1745	C₂²	1	4	yes	—
36	#1744	C₂²	1	4	yes	—
37	#1736	C₂²	1	8	yes	—
38	#1728	C₂²	1	2	yes	—
39	#1728	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
45	C₂×#125	—	2	4	no	—
46	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#428	—	4	16	no	—
55	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
56	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
57	C₄×M₁₆	Q₈	1	16	yes	complemented
58	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
60	#391	—	2	8	no	—
61	#391	—	2	8	no	—
62	#391	—	2	8	no	—
63	#391	—	2	8	no	—
64	#389	—	2	4	no	—
65	#389	—	2	4	no	—
66	#389	C₂³	1	8	yes	—
67	#389	C₂³	1	8	yes	—
68	#387	—	2	8	no	—
69	#387	—	2	8	no	—
70	#385	—	2	4	no	—
71	#385	—	2	4	no	—
72	#384	C₂³	1	2	yes	—
73	#384	C₂³	1	2	yes	—
74	#382	—	2	4	no	—
75	#382	—	2	4	no	—
76	#382	—	2	4	no	—
77	#382	C₂³	1	8	yes	—
78	#382	C₂³	1	2	yes	—
79	#382	C₂³	1	4	yes	—
80	#382	C₂³	1	4	yes	—
81	#382	C₂³	1	2	yes	—
82	#380	—	2	2	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₂×#95	—	2	4	no	—
89	C₂×#95	—	2	4	no	—
90	C₄³	D₄	1	4	yes	—
91	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
92	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
93	#340	C₂³	1	32	yes	—
94	#336	C₂³	1	8	yes	—
95	#336	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
97	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
106	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
108	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
110	#125	—	4	16	no	—
111	#117	—	2	8	no	—
112	#117	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#107	—	4	16	no	—
144	#106	—	4	16	no	—
145	#97	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
146	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
147	#95	—	2	16	no	—
148	#95	—	2	8	no	—
149	#95	—	2	8	no	—
150	#95	—	2	4	no	—
151	#95	—	2	4	no	—
152	#95	—	2	8	no	—
153	#95	—	2	8	no	—
154	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
158	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
179	M₁₆	—	2	32	no	—
180	C₂×C₈	—	2	8	no	—
181	C₂×C₈	—	2	8	no	—
182	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
183	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₄²	—	2	4	no	—
195	C₄²	—	2	4	no	—
196	C₄²	—	2	8	no	—
197	C₄²	—	2	8	no	—
198	C₄²	—	2	4	no	—
199	C₄²	—	2	4	no	—
200	C₄²	—	4	4	no	—
201	C₄²	—	4	4	no	—
202	C₄²	—	4	4	no	—
203	C₄²	—	4	4	no	—
204	C₄²	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
205	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
206	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
209	C₂³	#535	1	2	yes	—
210	C₂³	#536	1	2	yes	—
211	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
212	Q₈	—	8	32	no	—
213	C₂×C₄	—	2	16	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂×C₄	—	4	16	no	—
229	C₂×C₄	—	8	16	no	—
230	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
232	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	#544	1	16	yes	—
236	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
237	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
238	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
240	C₈	—	2	16	no	—
241	C₂²	—	2	4	no	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	2	4	no	—
244	C₂²	#2660	1	4	yes	—
245	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
249	C₄	—	2	8	no	—
250	C₄	—	2	4	no	—
251	C₄	—	2	4	no	—
252	C₄	—	4	4	no	—
253	C₄	—	8	4	no	—
254	C₄	—	8	8	no	—
255	C₄	—	8	4	no	—
256	C₄	#2660	1	4	yes	—
257	C₄	C₂×#544	1	4	yes	—
258	C₂	—	2	4	no	—
259	C₂	C₂×#2660	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#60663	1	2	yes	—
261	C₂	#60799	1	2	yes	—
262	C₂	#60863	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #30310	C₂	semidirect
4. #30306	C₂	semidirect
57. C₄×M₁₆	Q₈	semidirect
145. #97	C₂×Q₈	semidirect
146. C₄×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36640	2
C₂×#2862	2
#30310	2
#30306	2
#23659	2
#23552	2
#20801	2
#20765	2
#20364	2