Subgroups — #6436200

Order 512.

1756 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#35333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#29885	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#29879	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23671	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23643	C₂	1	4	yes	maximal
9	#21318	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#1991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3166	—	2	8	no	—
16	C₂×#501	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
18	#2922	—	2	8	no	—
19	C₂×#433	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#431	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2851	C₂²	1	4	yes	—
27	#2851	C₂²	1	4	yes	—
28	#2629	C₂²	1	4	yes	—
29	#2628	C₂²	1	4	yes	—
30	#2581	—	2	2	no	—
31	#2580	—	2	2	no	—
32	#2579	—	2	4	no	—
33	#2566	—	2	2	no	—
34	#2565	—	2	2	no	—
35	#2564	—	2	4	no	—
36	#2317	C₂²	1	2	yes	—
37	#2316	C₂²	1	2	yes	—
38	#2311	C₂²	1	2	yes	—
39	#2311	C₂²	1	2	yes	—
40	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#2088	C₂²	1	8	yes	—
43	#2088	C₂²	1	8	yes	—
44	#2087	C₂²	1	8	yes	—
45	#2086	C₂²	1	8	yes	—
46	#2077	C₂²	1	8	yes	—
47	#2077	C₂²	1	8	yes	—
48	#2076	C₂²	1	8	yes	—
49	#2075	C₂²	1	8	yes	—
50	#1991	C₂²	1	4	yes	—
51	#1991	C₂²	1	4	yes	—
52	#1991	C₂²	1	4	yes	—
53	#1990	C₂²	1	4	yes	—
54	#1836	C₂²	1	4	yes	—
55	#1835	C₂²	1	4	yes	—
56	#1736	C₂²	1	4	yes	—
57	#1735	C₂²	1	4	yes	—
58	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
59	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	#533	—	2	4	no	—
63	#533	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#125	—	2	2	no	—
66	C₂×#125	—	2	4	no	—
67	C₂×#125	—	2	4	no	—
68	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₄×#41	—	2	4	no	—
73	C₄×#41	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#501	—	2	16	no	—
88	#499	—	2	16	no	—
89	#433	—	2	16	no	—
90	#431	—	2	16	no	—
91	#428	—	2	16	no	—
92	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
94	#424	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	#408	—	2	8	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
98	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
99	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	#400	—	2	4	no	—
105	#399	—	2	4	no	—
106	#398	—	2	8	no	—
107	#396	—	2	8	no	—
108	#395	—	2	4	no	—
109	#393	—	2	4	no	—
110	#391	—	2	2	no	—
111	#391	—	2	2	no	—
112	#390	—	2	2	no	—
113	#390	—	2	2	no	—
114	#389	—	2	4	no	—
115	#389	C₂³	1	8	yes	—
116	#389	C₂³	1	8	yes	—
117	#387	—	2	8	no	—
118	#387	—	2	8	no	—
119	#386	—	2	4	no	—
120	#386	—	2	4	no	—
121	#385	—	2	8	no	—
122	#385	—	2	8	no	—
123	#385	—	2	4	no	—
124	#384	—	2	2	no	—
125	#384	C₂³	1	2	yes	—
126	#382	—	2	2	no	—
127	#382	—	2	2	no	—
128	#382	C₂³	1	2	yes	—
129	#382	C₂³	1	2	yes	—
130	#382	C₂³	1	2	yes	—
131	#380	—	2	2	no	—
132	#380	—	2	4	no	—
133	#380	C₂³	1	8	yes	—
134	#380	C₂³	1	8	yes	—
135	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×#95	—	2	2	no	—
137	#340	C₂³	1	4	yes	—
138	#340	C₂³	1	8	yes	—
139	#340	C₂³	1	8	yes	—
140	#340	C₂³	1	4	yes	—
141	#340	C₂³	1	8	yes	—
142	#340	C₂³	1	8	yes	—
143	#340	C₂³	1	4	yes	—
144	#340	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×#41	—	2	2	no	—
146	C₂×#41	—	2	2	no	—
147	C₂×#41	—	2	4	no	—
148	C₂×#41	—	2	4	no	—
149	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	#125	—	2	4	no	—
170	#125	—	2	4	no	—
171	#125	—	2	4	no	—
172	#125	—	2	4	no	—
173	#125	—	2	4	no	—
174	#125	—	2	4	no	—
175	#125	—	4	8	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
179	C₄×D₄	—	2	16	no	—
180	C₄×D₄	—	2	8	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	4	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	#117	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	#107	—	2	16	no	—
225	#106	—	2	16	no	—
226	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
228	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
229	C₄×C₈	—	2	4	no	—
230	C₄×C₈	—	2	4	no	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
232	#95	—	2	4	no	—
233	#95	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	4	no	—
235	#95	—	2	8	no	—
236	#95	—	2	8	no	—
237	#95	—	2	8	no	—
238	#95	—	2	8	no	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	4	8	no	—
242	#41	—	4	8	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
280	M₁₆	—	2	16	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	8	no	—
287	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
311	C₄²	—	2	8	no	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	4	4	no	—
315	C₄²	—	4	4	no	—
316	C₄²	#121	1	8	yes	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
321	C₂³	—	2	4	no	—
322	C₂³	—	2	8	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
327	C₂³	#536	1	2	yes	—
328	C₂³	#536	1	2	yes	—
329	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	4	4	no	—
331	Q₈	—	8	8	no	—
332	D₄	—	4	8	no	—
333	D₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	16	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	8	no	—
356	C₂×C₄	—	16	4	no	—
357	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
363	C₂×C₄	#541	1	8	yes	—
364	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
368	C₈	—	2	8	no	—
369	C₈	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	#2621	1	4	yes	—
378	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#3584	1	4	yes	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	—	8	4	no	—
388	C₄	—	8	4	no	—
389	C₄	—	8	4	no	—
390	C₄	#2621	1	4	yes	—
391	C₄	C₂×#536	1	2	yes	—
392	C₄	C₂×#541	1	2	yes	—
393	C₂	—	2	4	no	—
394	C₂	—	8	2	no	—
395	C₂	C₂×#2621	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#60453	1	2	yes	—
397	C₂	#60879	1	2	yes	—
398	C₂	#60882	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3166	C₂	semidirect
5. #29885	C₂	semidirect
6. #29879	C₂	semidirect
7. #23671	C₂	semidirect
9. #21318	C₂	semidirect
10. C₂×#1991	C₂	semidirect
11. #20765	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3166	2
C₂×#2922	2
#35334	2
#35333	2
#29885	2
#29879	2
#23671	2
#23643	2
#21318	2
C₂×#1991	2
#20765	2