Subgroups — #6437212

Order 512.

2274 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3168	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#36631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#30282	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30264	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#30242	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#30241	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#30240	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#30239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#23797	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#23796	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#529	C₂²	1	4	yes	—
13	#3168	—	2	32	no	—
14	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#488	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#465	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	#2861	C₂²	1	4	yes	—
25	#2860	—	2	4	no	—
26	#2859	C₂²	1	2	yes	—
27	#2858	C₂²	1	2	yes	—
28	#2857	C₂²	1	2	yes	—
29	#2856	C₂²	1	2	yes	—
30	#2854	—	2	4	no	—
31	#2850	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#124	C₂²	1	4	yes	—
35	C₄×#121	—	2	4	no	—
36	#2293	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2097	C₂²	1	8	yes	—
39	#2096	C₂²	1	4	yes	—
40	#2095	C₂²	1	4	yes	—
41	#2094	C₂²	1	4	yes	—
42	#2093	C₂²	1	4	yes	—
43	#2092	C₂²	1	8	yes	—
44	#2016	C₂²	1	4	yes	—
45	#2015	C₂²	1	8	yes	—
46	#2014	C₂²	1	4	yes	—
47	#2013	C₂²	1	4	yes	—
48	#2012	C₂²	1	8	yes	—
49	#2011	C₂²	1	4	yes	—
50	#1744	C₂²	1	4	yes	—
51	#1744	C₂²	1	4	yes	—
52	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	#529	—	2	32	no	—
63	C₂×#126	—	2	4	no	—
64	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#123	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#121	—	2	4	no	—
70	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#117	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#499	—	2	16	no	—
82	#495	—	2	16	no	—
83	#488	—	2	32	no	—
84	#467	—	2	16	no	—
85	#466	—	2	16	no	—
86	#465	—	2	32	no	—
87	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
88	C₄×SD₁₆	—	2	32	no	—
89	C₄×D₈	—	2	16	no	—
90	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	16	yes	complemented
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	#391	C₂³	1	4	yes	—
101	#391	C₂³	1	4	yes	—
102	#390	—	2	4	no	—
103	#390	—	2	4	no	—
104	#390	—	2	4	no	—
105	#390	—	2	4	no	—
106	#390	C₂³	1	4	yes	—
107	#390	C₂³	1	4	yes	—
108	#389	—	2	4	no	—
109	#389	—	2	4	no	—
110	#389	—	2	4	no	—
111	#389	—	2	4	no	—
112	#388	—	2	8	no	—
113	#388	—	2	8	no	—
114	#388	—	2	8	no	—
115	#388	—	2	8	no	—
116	#386	—	2	8	no	—
117	#384	C₂³	1	2	yes	—
118	#384	C₂³	1	2	yes	—
119	#382	C₂³	1	4	yes	—
120	#380	—	2	4	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₄³	D₄	1	2	yes	—
124	C₄³	D₄	1	2	yes	—
125	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
127	#336	C₂³	1	8	yes	—
128	#336	C₂³	1	4	yes	—
129	#336	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×D₈	—	2	8	no	—
147	C₂×D₈	—	4	4	no	—
148	C₂×D₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
158	#127	—	4	4	no	—
159	#126	—	4	16	no	—
160	#125	—	2	16	no	—
161	#124	—	2	16	no	—
162	#124	—	4	4	no	—
163	#124	—	4	4	no	—
164	#123	—	4	16	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
166	#121	—	2	16	no	—
167	#121	—	4	16	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
169	C₄×D₄	—	2	16	no	—
170	C₄×D₄	—	4	16	no	—
171	C₄×D₄	—	4	16	no	—
172	#117	—	4	16	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
195	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	#107	—	2	8	no	—
210	#107	—	2	8	no	—
211	#106	—	2	16	no	—
212	#103	—	2	16	no	—
213	#103	—	2	16	no	—
214	#102	—	2	16	no	—
215	#102	—	2	16	no	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
218	#95	—	2	8	no	—
219	#95	—	2	8	no	—
220	#95	—	2	8	no	—
221	C₂⁴	—	2	4	no	—
222	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	8	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	8	no	—
232	C₂×D₄	—	4	8	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	16	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
251	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
263	Q₁₆	—	4	16	no	—
264	SD₁₆	—	4	32	no	—
265	D₈	—	4	16	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	8	no	—
271	C₂×C₈	—	4	8	no	—
272	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
273	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
291	C₄²	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	2	8	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	—	4	4	no	—
300	C₄²	—	4	8	no	—
301	C₄²	#127	1	4	yes	—
302	C₄²	#127	1	4	yes	—
303	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
304	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
305	C₂³	—	2	1	no	—
306	C₂³	—	2	1	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
315	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	4	8	no	—
317	Q₈	—	4	8	no	—
318	D₄	—	4	8	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	8	16	no	—
321	D₄	—	8	16	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	8	16	no	—
346	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	2	8	no	—
358	C₈	—	2	8	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	8	8	no	—
364	C₂²	—	8	8	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	#3147	1	4	yes	—
369	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	8	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	8	4	no	—
381	C₄	—	8	4	no	—
382	C₄	—	8	4	no	—
383	C₄	#3150	1	4	yes	—
384	C₄	#3449	1	2	yes	—
385	C₄	#3449	1	2	yes	—
386	C₂	—	2	4	no	—
387	C₂	—	16	4	no	—
388	C₂	#34641	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂×#3147	1	1	yes	characteristic
390	C₂	C₂×#3150	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#60945	1	2	yes	—
392	C₂	#60948	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	#30239	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3168	C₂	semidirect
2. #36631	C₂	semidirect
3. #30282	C₂	semidirect
4. #30264	C₂	semidirect
5. #30242	C₂	semidirect
6. #30241	C₂	semidirect
7. #30240	C₂	semidirect
9. #23797	C₂	semidirect
10. #23796	C₂	semidirect
11. C₂×#1744	C₂	semidirect
97. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3168	2
#36631	2
#30282	2
#30264	2
#30242	2
#30241	2
#30240	2
#30239	2
#23797	2
#23796	2
C₂×#1744	2